• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Підстановки

Означення 2.2.1. Будь-яке взаємно-однозначне відображення j множини перших n натуральних чисел на себе, називається підстановкою n-го степеня. Підстановку записують так:

, (2.1)

де : – одне з чисел , крім того , якщо , тобто всі числа – різні.

Якщо в таблиці (2.1), яка визначає підстановку, переставити декілька стовпчиків, то, очевидно, одержимо новий запис вихідної підстановки, оскільки з нової таблиці як і раніш виходить, що число 1 переходить у число , число 2 – у і т. д. У зв’язку з цим, на подальшому будемо завжди вважати, що числа у першому рядку підстановки (2.1) завжди розташовані у порядку зростання від 1 до n.

Приклад. Чи є підстановкою відображення

?

Розв’язання. Це відображення – не ін’єктивне, оскільки . Воно також не є сюр’єктивним, тому що . Висновок: зазначене відображення – не є підстановкою, оскільки воно не є бієкцією.

Теорема 2.2.1. Число усіх підстановок n-го степеня дорівнює .

4 Розглянемо довільну підстановку n-го степеня

,

де : – одне з чисел (нагадаємо, що усі числа другого рядку різні). За можна обрати будь-яке з чисел . Це дає n різних варіантів. Якщо ми вже обрали, то за можна обрати лише одне з натуральних чисел, що залишилися. Внаслідок цього число різних способів вибору чисел та , очевидно, дорівнює добутку , а число способів вибору чисел , , , очевидно, дорівнює . Таким чином, число способів вибору чисел , , …, дорівнює .3

Розглянемо поняття перестановки.

Означення 2.2.2. Перестановкою будемо називати n-вимірний рядок , в якому : – приймають значення з множини та усі різні.

Відзначимо, що на підставі теореми 2.2.1 число усіх різних перестановок з n натуральних чисел дорівнює n!.

Означення 2.2.3 Кажуть, що числа та утворюють в перестановці інверсію, якщо , а (тобто та розташовано попереду в перестановці).

Приклад. Визначити число інверсій у перестановці .

Розв’язання. Число 4 утворює 3 інверсії з числами 1, 2, 3, які менші за нього, а розташовані після нього. Кожне з чисел 3 та 5 утворює по 2 інверсії з числами 1, 2 з аналогічних міркувань. Інші числа інверсій не утворюють. Таким чином, загальна кількість інверсій у зазначеній перестановці дорівнює 3+2+2=7.

Означення 2.2.4. Перестановку називають парною, якщо загальне число інверсій у перестановці – парне, у супротивному випадку перестановку називають непарною.

Означення 2.2.5. Якщо, в перестановці змінили місцями два числа, то кажуть, що здійснили транспозицію цих чисел.

Теорема 2.2.2. Парність перестановки змінюється після одної транспозиції двох її чисел.

4 Розглянемо спочатку випадок, коли числа i та k, транспозиція яких була здійснена, розташовані поряд у вихідній перестановці: . Де А – група чисел, які попередні до числа i, а В – група чисел, що розташовані після числа k. Після транспозиції чисел i та k одержимо нову перестановку: . Очевидно, що загальне число інверсій, що утворюють числа i та k з числами множин А та В, у новій та вихідній перестановках однакові. Якщо у вихідній перестановці , то у новій перестановці загальна кількість інверсій зменшується на одиницю. Якщо ж у вихідній перестановці , то у новій перестановці число інверсій збільшується на одиницю. Таким чином, після транспозиції двох сусідніх чисел у перестановці, загальна кількість інверсій змінюється на одиницю, тобто парність перестановки змінюється.

Нехай тепер числа i та k у перестановці не є сусідніми, тоді перестановка має вигляд . Послідовно змінюючи місцями число i та числа , отримаємо перестановку . Відзначимо, що під час переходу до нової перестановки було здійснено m транспозицій сусідніх чисел.

Для того, щоб поставити число k поперед числа , потрібно зробити транспозицій числа k з сусідніми числами . Внаслідок цього від вихідної перестановки до перестановки можна перейти за допомогою транспозицій сусідніх чисел. Згідно з доведеним вище після однієї транспозиції парність перестановки змінюється. Звідки виходить, що після транспозицій двох сусідніх чисел парність перестановки також змінюється. 3

Означення 2.2.6. Підстановка n-го степеня називається парною, якщо сума інверсій у її верхньому та нижньому рядках є число парне, у супротивному випадку підстановка називається непарною.

Приклад. Визначити парна або непарна підстановка

?

Розв’язання. Число інверсій у першому рядку підстановки дорівнює нулю. Число інверсій у другому рядку дорівнює . Таким чином сума інверсій у двох рядках підстановки дорівнює . Висновок: зазначена підстановка – непарна.

На закінчення параграфу відзначимо, що парність підстановки не змінюється під час транспозиції двох будь-яких її стовпчиків.

§ 2.3. Поняття визначника n-го порядку

Історична довідка.Визначники дозволяють зручно записувати складні вирази, що виникають, наприклад, в аналітичній геометрії, у математичному аналізі, при розв’язанні систем лінійних рівнянь, тощо. Відкриття визначників приписують японському математику С.Кова (1683) і, незалежно, Г.Лейбницу (1693). Сучасна теорія визначників розроблена завдяки роботам Ж.Біне, О.Коші та К.Якобі на початку XIX ст.

Нехай А – квадратна матриця n-го порядку

. (3.1)

Означення 2.3.1. Членом визначника, що відповідає матриці А, називають добуток n елементів матриці, що взяті по одному з кожного рядку та кожного стовпчику.

Нехай – деякий член визначника матриці А. Очевидно, що йому взаємно однозначно відповідає підстановка:

.

Тому на підставі теореми 2.2.1 можна зробити висновок, що число усіх членів визначника матриці n-го порядку, дорівнює n!.

Означення 2.3. Визначником n-го порядку, який відповідає квадратній матриці А, називають число, що дорівнює сумі n! доданків, кожний з яких є членом визначника. Член визначника входить до цієї суми зі знаком «+», якщо підстановка, що складена з його індексів є парною, та зі знаком « » у супротивному випадку.

Приклад. З’ясувати чи є добуток елементів: квадратної матриці п’ятого порядку членом відповідного визначника. Якщо так, визначити з яким знаком входить до визначника п’ятого порядку цей добуток.

Розв’язання. Записуємо підстановку з індексів елементів добутку. Одержимо

.

Отримана таблиця задає бієкцію з множини чисел на себе, тому зазначений добуток є членом визначника п’ятого порядку. У першому рядку підстановки – п’ять інверсій, а у другому – чотири, загальна кількість інверсій – дев’ять. Таким чином підстановка, що відповідає члену визначника, який розглядається, є непарною, а внаслідок цього добуток входить до визначника зі знаком « ».

Визначник матриці (3.1), позначають так:

. (3.2)

На практиці застосовують і інше позначення визначника: .

Означення 2.3.3. Транспонуванням матриці А називається таке перетворення цієї матриці, під час якого її рядки стають стовпчиками нової матриці з тими ж самими номерами. Так, для квадратної матриці (3.1)

.

За означенням 2.3.2 визначник квадратної матриці А – число, але на подальшому для того, щоб більш стисло викладати матеріал, будемо говорити про рядки та стовпчики визначника, розуміючи під ними рядки та стовпчики, відповідної матриці.

Аналогічно можна говорити про операцію транспонування визначника. Наприклад, після транспонування визначника (3.2) одержимо визначник:

. (3.3)

Означення 2.3.4.Квадратна матриця n-го порядку називається верхньою трикутною матрицею, якщо всі її елементи, що розташовані нижче головної діагоналі матриці дорівнюють нулю, тобто матриця має вигляд:

.(3.4)

Лема 2.3.1.Визначник верхньої трикутної матриці дорівнює добутку елементів її головної діагоналі.

4Як виходить з означення верхньої трикутної матриці її елементи задовольняють таким умовам:

, при . (3.5)

Розглянемо довільний член визначника матриці (3.4). Його можна записати у вигляді . Зрозуміло, що добуток, який містить нульовий множник, дорівнює нулю. Тому згідно умовам (3.5) ненульові члени визначника повинні містити тільки множники, індекси яких задовольняють умові . Звідки маємо, що тоді й тільки тоді, коли виконується система нерівностей:

Відзначимо також, що за означенням члена визначника у добутку індекси , при чому усі різні. При цих умовах наведена вище система нерівностей має єдиний розв’язок: . Таким чином, існує тільки один член цього визначника, відмінний від нуля, а саме . Цей добуток входить до визначника зі знаком «+», оскільки йому відповідає так звана тотожна підстановка: , яка є парною (сума інверсій у обох рядках дорівнює нулю). Отже, визначник матриці (3.4) дорівнює добутку :

.(3.6)

Приклад.Користуючись означенням, отримати формулу для обчислення визначника 3-го порядку.

Розв’язання. Розглянемо визначник 3-го порядку загального вигляду:

.

Згідно з означенням він є сумою доданків – членів визначника. Будемо підбирати шість різних членів визначника, враховуючи, що кожний член є добутком трьох елементів відповідної матриці, які взяті по одному з кожного рядка та кожного стовпчика.

Складаємо добутки, які відповідають членам визначника 3-го порядку: візьмемо з першого рядку елемент , тоді до цього добутку з другого рядку ми можемо обрати або , або . Якщо обрано добуток , то третім множником може бути лише (оскільки вже не можна обирати елементи першого та другого рядків і стовпчиків). Якщо обрано добуток , то третім множником може бути лише (оскільки вже не можна обирати елементи першого та другого рядків і першого та третього стовпчиків). Отримали два члена визначника:

та .

З аналогічних міркувань, обираючи за перший множник елемент , отримаємо ще два члени визначника:

та .

А обираючи за перший множник елемент , знаходимо останні два члени визначника:

та .

Знайдено шість різних членів визначника, залишилося з’ясувати з яким знаком кожний член входить до шуканої суми та обчислити суму.

Згідно з означенням знак члена визначника визначається парністю підстановки з його індексів. Складаємо підстановки, що відповідають кожному члену визначника, та визначаємо їх парність.

Члену визначника відповідає підстановка: , яка є парною (нуль інверсій у першому та другому рядках), тобто добуток входить у суму для обчислення визначника зі знаком «+».

Добутку відповідає підстановка: , яка є непарною (нуль інверсій у першому рядку та одна у другому), тобто входить у суму зі знаком «–».

Члену визначника відповідає підстановка: , яка є непарною (нуль інверсій у першому рядку та одна у другому), і добуток входить у суму зі знаком «–».

Члену визначника відповідає підстановка: , яка є парною (нуль інверсій у першому рядку та дві у другому), тобто входить у суму зі знаком «+».

Добутку відповідає підстановка: , яка є парною (нуль інверсій у першому рядку та дві у другому), і добуток входить у суму зі знаком «+».

Підстановка: , яка відповідає члену визначника , є непарною (нуль інверсій у першому та три у другому), таким чином входить у суму зі знаком «–».

У підсумку маємо (спочатку згруповані усі члени зі знаком «+», а потім зі знаком «–»):

(3.7)

Примітка. Знаки, з якими члени визначника входять у формулу (3.7) для обчислення визначника третього порядку можна визначити, користуючись схемою, що називається правилом трикутників або правилом Саррюса:

Перші три доданки у формулі (3.7) визначаються з лівого малюнка і беруться зі знаком плюс, а наступні три доданки беруться зі знаком мінус і визначаються із правого малюнка.

Завдання для самостійної роботи: Довести,користуючись означенням, що формула для обчислення визначника 2-го порядку має вигляд:

. (3.8)

Зауваження:Знаходження за означенням визначників матриць загального вигляду четвертого й більш високого порядків приводить до значно складніших обчислень. Наприклад, вже для знаходження визначника четвертого порядку потрібно обчислити алгебраїчну суму із двадцяти чотирьох доданків, де кожний доданок складається з добутку чотирьох співмножників і т.д. Тому для обчислення визначників порядку більшого за три користуються спеціально розробленими методами. А для розробки цих методів застосовують властивості визначника, що наведені у наступному параграфі.

§ 2.4. Властивості визначника n-го порядку

Властивість 1. Визначник не змінюється після транспонування.

4 Згідно з означенням, визначник n-го порядку дорівнює сумі різних доданків – членів визначника – з урахуванням знаку члена визначника. Оскільки порядок визначника при транспонуванні не змінюється то, загальна кількість членів у вихідному та транспонованому визначниках однакова та дорівнює . Далі покажемо, що кожний член вихідного визначника є також членом транспонованого, причому входить у вихідний визначник з тим самим знаком, що і у транспонований.

Розглянемо довільний член вихідного визначника (3.2) . Елементи , що входять до складу цього добутку, були взяті по одному з кожного рядка та кожного стовпчика визначника (3.2), а тому, і визначника (3.3), який отримали після транспонування вихідного визначника. Звідки виходить, що усі члени вихідного визначника входять до складу транспонованого визначника та навпаки. Члену відповідає у вихідному визначнику підстановка:

,

а у транспонованому – підстановка:

.

Зрозуміло, що обидві ці підстановки мають однакову парність, тобто або одночасно парні, або одночасно непарні. Внаслідок чого, добуток входить з однаковим знаком як до складу вихідного визначника, так і до складу транспонованого. Усе це у сукупності доводить рівність визначників, що розглядалися. 3

Властивість 2. Якщо один з рядків визначника – нульовий, то визначник дорівнює нулю.

4За означенням до кожного члену визначника входить один елемент нульового рядку як множник, звідки виходить, що усі члени такого визначника дорівнюють нулю, а внаслідок цього і сам визначник дорівнює нулю. 3

Властивість 3. Якщо визначник отриманий з іншого після переставлення двох рядків, то модулі цих визначників збігаються, а знаки протилежні.

4Нехай у вихідному визначнику (3.2) були переставлені рядки з номерами i та j , а усі інші рядки не змінилися. Запишемо новий визначник

.

Тут , … , , а , … , , а інші рядки нового визначника такі ж самі що й у вихідному визначнику (3.2).

Розглянемо довільний член визначника (3.2) . Зрозуміло, що цей добуток містить по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпчика нового визначника, а тому є членом нового визначника. Цей член нового визначника можна записати таким чином . Члену вихідного визначника відповідає підстановка:

.

А такому ж члену нового визначника відповідає вже така підстановка:

.

Другу підстановку можна отримати з першої після транспозиції двох чисел i та j у першому рядку. Таким чином, парності двох підстановок протилежні, звідки виходить, що протилежні і знаки з якими входить добуток у вихідний та у новий визначники. Оскільки було розглянуто довільний член визначника, то виходить, що вихідний визначник та визначник, який отримано з нього після переставлення двох рядків, відрізняються один від одного лише знаком.3

Властивість 4. Якщо елементи двох рядків визначника рівні, то визначник дорівнює нулю.

4Нехай визначник (3.2) дорівнює d. Якщо змінити місцями два однакових рядка, то зрозуміло, що значення визначника не зміниться, але з іншого боку за властивістю 3 його значення буде рівним . Таким чином, маємо , звідки виходить, що .3

Властивість 5. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника помножити на деяке число k, то й сам визначник зміниться у k раз.

4 Нехай елементи i-го рядка визначника (3.2) помножені на число k . Тоді загальний член нового визначника, оскільки він містить елемент i-го рядка, буде мати вигляд . Звідки виходить, що кожен член нового визначника у k раз відрізняється від відповідного члена вихідного визначника. Тому й новий визначник у k раз відрізняється від вихідного.3

З властивості 5 виходить, якщо всі елементи одного рядка визначника містять загальний множник, то цей множник можна винести за знак визначника.

Властивість 6. Якщо елементи двох рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

4Нехай у визначнику (i-тий рядок) = (j-тий рядок). Згідно з властивістю 5 число k можна винести за знак визначника. Після чого отримаємо визначник, у якому два рядки однакові. Цей визначник за властивістю 4 дорівнює нулю, тобто нулю дорівнює і вихідний визначник.3

Властивість 7. Якщо i-тий рядок визначника n-го порядку є сумою двох n-вимірних рядків , де та , то вихідний визначник дорівнює сумі двох визначників. У першому з яких замість i-того рядка розташовано рядок , а у другому – рядок . Інші рядки цих визначників такі ж самі як і у вихідному визначнику.

4Рівність у координатній формі має вигляд . Звідки виходить, що загальний член вихідного визначника (3.2) можна записати у вигляді суми двох доданків

.

Першому та другому доданкам відповідають визначники, які відрізняються від вихідного тільки елементами i-того рядка:

та .

Таким чином,

.3

Ця властивість легко узагальнюється на той випадок, коли i-тий рядок визначника – сума m його інших рядків .

Означення 2.4.1.Рядок матриці (визначника) з номером i називається лінійною комбінацією інших її (його) рядків, якщо:

(i-тий рядок) = (1-ший рядок)+ (2-гий рядок)+…+ ( - ий рядок)+

+ ( -ший рядок)+…+ ( -тий рядок),

де .

Якщо деякі з коефіцієнтів дорівнюють нулю, то говорять, що i-тий рядок є лінійною комбінацією тих рядків, коефіцієнти при яких відмінні від нуля.

Властивість 8.Якщо один з рядків визначника є лінійною комбінацією інших його рядків, то визначник дорівнює нулю.

4Нехай i-тий рядок визначника є лінійною комбінацією інших його рядків. Згідно властивості 7 такий визначник дорівнює сумі визначників, кожний з яких має по два пропорційних рядка, і тому за властивістю 6 дорівнює нулю.3

Властивість 9. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного його рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на довільний множник.

4Будемо додавати до i-того рядка визначника (3.2) його-тий рядок, який помножено на деяке число . У визначнику, що отримали:

(i-тий рядок) =(i-тий рядок (3.2)) + ( -тий рядок (3.2)).

Інші рядки нового визначника такі ж самі, що й у вихідного. Згідно властивості 7 новий визначник дорівнює сумі двох визначників: вихідного та визначника, у якого i-тий та -тий рядки – пропорційні. За властивістю 6 останній визначник дорівнює нулю, звідки виходить, що новий визначник дорівнює вихідному.3

Примітка. За властивістю 1 при транспонуванні визначник не змінюється. Звідки виходить, що усі твердження (властивості 2–9), що були доведені вище для рядків, вірні також і для стовпчиків визначника.

Читайте також:

1. Метод підстановки
2. Підстановки

Переглядів: 2600