• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Види відображень множин

Поняття множини є одним з головних математичних понять. Коли говорять про множину мають на увазі набір, сукупність або зібрання деяких об’єктів, які мають загальні відмінні характерні ознаки. Наприклад: множина студентів групи, множина дійсних чисел, множина неперервних функцій, тощо. Об’єкти, з яких складається множина, називають елементами множини. Домовимось позначати різні множини великими латинськими літерами А, В, С…, а їх елементи a, b, с … – маленькими.

Означення 2.1.1.Розглянемо дві множини А та В. Будемо казати, що задане відображення за правилом j з множини А у множину В, якщо кожному елементу множини А відповідає деякий елемент з множини В.

Для позначення відображення j з множини А у множину В будемо використовувати символи: , або . Множину А називають початком відображення, а множину В кінцем відображення.

Означення 2.1.2.Нехай а – довільний елемент множини А ( ). Відповідний йому елемент b з множини В будемо називати образом елемента а при відображенні j та позначати . Нехай b – деякий елемент множини В, тоді будь-який елемент а з множини А, для якого b є образом, називається прообразом елемента b тапозначається .

Приклад. Визначити образ елемента множини та прообрази елементів а та b з множини , якщо відображення задане таким чином:

Рис 2.1. Відображення

Розв’язання. За означеннями образу та прообразу виходить, що образом елементу є елемент : .А прообрази елементу а – це елементи 1 та 2 з множини А: . Елемент b не має прообразу: .

При відображенні множини А у множину В кожний елемент початку відображення А має точно один образ. Але не у кожного елементу кінця відображення В є прообраз. Може також мати місце випадок, коли деякі елементи кінця відображення мають декілька прообразів. Ті елементи кінця відображення, які мають прообрази, утворюють множину, яка називається образом відображення та позначається символом .

Означення 2.1.3.Відображення будемо називати вкладенням (або ін’єктивним відображенням), якщо кожний елемент кінця відображення – множини В має не більш ніж один прообраз.

Означення 2.1.4.Якщо кожний елемент множини В має хоч один прообраз (тобто один або більше одного), то відображення називається накладенням (або сюр’єктивним відображенням).

Зрозуміло, що у цьому випадку .

Означення 2.1.5.Відображення , яке є одночасно вкладенням та накладенням, називається взаємно-однозначним (бієктивним або бієкцією).

В цьому випадку кожному елементу множини А відповідає лише один елемент множини В та навпаки. Розглянемо приклади ін’єктивного, сюр’єктивного та бієктивного відображень:

Рис 2.2. Ін’єктивне відображення (але не сюр’єктивне)

Рис 2.3. Сюр’єктивне відображення (але не ін’єктивне)

Рис 2.4. Бієктивне відображення

Читайте також:

1. Алгебра множин
2. Бюджетні множини й лінії бюджетного обмеження
3. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
4. Визначення загальної множини компонентів
5. Визначення множини допустимих планів задачі ЛП
6. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
7. Відмінок Однина Множина
8. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
9. Відношення порядку на множині дійсних чисел.
10. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
11. Відношення порядку на множині цілих невід’ємних чисел.

Переглядів: 3557