Види відображень множин

Поняття множини є одним з головних математичних понять. Коли говорять про множину мають на увазі набір, сукупність або зібрання деяких об’єктів, які мають загальні відмінні характерні ознаки. Наприклад: множина студентів групи, множина дійсних чисел, множина неперервних функцій, тощо. Об’єкти, з яких складається множина, називають елементами множини. Домовимось позначати різні множини великими латинськими літерами А, В, С…, а їх елементи a, b, с … – маленькими.

Означення 2.1.1.Розглянемо дві множини А та В. Будемо казати, що задане відображення за правилом j з множини А у множину В, якщо кожному елементу множини А відповідає деякий елемент з множини В.

Для позначення відображення j з множини А у множину В будемо використовувати символи: , або . Множину А називають початком відображення, а множину В кінцем відображення.

Означення 2.1.2.Нехай а – довільний елемент множини А ( ). Відповідний йому елемент b з множини В будемо називати образом елемента а при відображенні j та позначати . Нехай b – деякий елемент множини В, тоді будь-який елемент а з множини А, для якого b є образом, називається прообразом елемента b тапозначається .

Приклад. Визначити образ елемента множини та прообрази елементів а та b з множини , якщо відображення задане таким чином:

Рис 2.1. Відображення

Розв’язання. За означеннями образу та прообразу виходить, що образом елементу є елемент : .А прообрази елементу а – це елементи 1 та 2 з множини А: . Елемент b не має прообразу: .

При відображенні множини А у множину В кожний елемент початку відображення А має точно один образ. Але не у кожного елементу кінця відображення В є прообраз. Може також мати місце випадок, коли деякі елементи кінця відображення мають декілька прообразів. Ті елементи кінця відображення, які мають прообрази, утворюють множину, яка називається образом відображення та позначається символом .

Означення 2.1.3.Відображення будемо називати вкладенням (або ін’єктивним відображенням), якщо кожний елемент кінця відображення – множини В має не більш ніж один прообраз.

Означення 2.1.4.Якщо кожний елемент множини В має хоч один прообраз (тобто один або більше одного), то відображення називається накладенням (або сюр’єктивним відображенням).

Зрозуміло, що у цьому випадку .

Означення 2.1.5.Відображення , яке є одночасно вкладенням та накладенням, називається взаємно-однозначним (бієктивним або бієкцією).

В цьому випадку кожному елементу множини А відповідає лише один елемент множини В та навпаки. Розглянемо приклади ін’єктивного, сюр’єктивного та бієктивного відображень:

Рис 2.2. Ін’єктивне відображення (але не сюр’єктивне)

Рис 2.3. Сюр’єктивне відображення (але не ін’єктивне)

Рис 2.4. Бієктивне відображення

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|	Підстановки

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.