Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник






Алгебра множин

Операції над множинами, як і операції над числами, мають деякі властивості (табл.). Останні виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретних множин, що входять у ці тотожності та є підмножинами деякого універсуму U.

Таблиця

Комутативність
1а) А È В = В È А 1б) А Ç В = В Ç А
Асоціативність
2а) А È (В È С) = (А È В) È С 2б) А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С
Дистрибутивність
3а) А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С) 3б) А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)
Властивості порожньої множини Æ та універсуму U
4а) А È Æ = A 4б) А Ç U = A
5а) 5б)
6а) А È U = U 6б) А Ç Æ = Æ
7а) 7б)
Самопоглинання
8а) А È A = A 8б) А Ç A = A
Поглинання
9а) А È (А Ç В) = А 9б) А Ç (А È В) = А
Правило де Моргана
10а) 10б)
Властивості доповнення, різниці, диз’юнктивної суми
11)
12)
13)
14) А Å В = В Å А
15) А Å (В Å С) = (А Å В) Å С
16) А Å Æ = Æ Å A = A

Основний метод доведення тотожностей в алгебрі множин ґрунтується на згаданому раніше факті: А = В тоді і тільки тоді, коли А Í В і В Í А. Доведемо, наприклад, тотожність 3а) А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С).

Доведемо спочатку, що А È (В Ç С) Ì (А È В) Ç (А È С). Для цього візьмемо будь-яке x Î А È (В Ç С), тоді за означенням операцій È та Ç маємо x Î А або (x Î В і x Î С). За законом дистрибутивності “або” відносно “і” (x Î А або x Î В) і (x Î А або x Î С), тобто x Î А È В і x Î А È С. Це рівносильно x Î ( А È В) Ç (А È С), що й треба було довести.

Доведемо тепер, що (А È В) Ç (А È С) Ì А È (В Ç С). Для цього візьмемо будь-яке x Î (А È В) Ç (А È С). Звідси (x Î А або x Î В) і (x Î А або x Î С). Це рівносильно x Î А або (x Î В і x Î С), тобто x Î А È (В Ç С), що й потрібно було довести.

Таким чином, А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С).

Із властивості асоціативності операції об’єднання множин випливає, що об’єднання кількох множин можна виконати, послідовно об’єднуючи їх, причому порядок входження множин не впливає на результат: А È (В È С) = (А È В) È С = А È В È С. Отже, об’єднання сукупності множин можна подати співвідношенням: .

Аналогічно на n множин узагальнюється операція перетину: .

Використовуючи узагальнення операцій об’єднання та перерізу на n множин, можна узагальнити також інші співвідношення, наприклад закон де Моргана, який в узагальненому вигляді записується так: і .

Зауважимо, що операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A´BC і A´(B´C), а також множини A´B і B´A, взагалі кажучи, не рівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими операціями над множинами встановлюється такими тотожностями:

(A È B) ´ C = (A´C) È (B´C),

(AÇB) ´ C = (A´C)Ç(B´C),

A ´ (B È C) =(A´B) È (A´C),

A ´ (BÇC) =(A´B)Ç(A´C).

Сукупність підмножин A1, A2, …, An множини A називається розбиттям множини A, якщо:

1. ;

2. Ai Ç Aj = Æ, i, j=1,.., n, i ¹ j.

 


Читайте також:

  1. Алгебра випадкових подій
  2. Алгебра подій
  3. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
  4. Алгебраїчні критерії стійкості
  5. Алгебраїчні операції
  6. Алгебраїчні системи
  7. Бюджетні множини й лінії бюджетного обмеження
  8. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
  9. Визначення множини допустимих планів задачі ЛП
  10. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
  11. Відмінок Однина Множина




Переглядів: 1310

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Операції над множинами | Парадокси теорії множин

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.011 сек.