• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Алгебра множин

Операції над множинами, як і операції над числами, мають деякі властивості (табл.). Останні виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретних множин, що входять у ці тотожності та є підмножинами деякого універсуму U.

Таблиця

Комутативність
1а) А È В = В È А	1б) А Ç В = В Ç А
Асоціативність
2а) А È (В È С) = (А È В) È С	2б) А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С
Дистрибутивність
3а) А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)	3б) А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)
Властивості порожньої множини Æ та універсуму U
4а) А È Æ = A	4б) А Ç U = A
5а)	5б)
6а) А È U = U	6б) А Ç Æ = Æ
7а)	7б)
Самопоглинання
8а) А È A = A	8б) А Ç A = A
Поглинання
9а) А È (А Ç В) = А	9б) А Ç (А È В) = А
Правило де Моргана
10а)	10б)
Властивості доповнення, різниці, диз’юнктивної суми
11)
12)
13)
14) А Å В = В Å А
15) А Å (В Å С) = (А Å В) Å С
16) А Å Æ = Æ Å A = A

Основний метод доведення тотожностей в алгебрі множин ґрунтується на згаданому раніше факті: А = В тоді і тільки тоді, коли А Í В і В Í А. Доведемо, наприклад, тотожність 3а) А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С).

Доведемо спочатку, що А È (В Ç С) Ì (А È В) Ç (А È С). Для цього візьмемо будь-яке x Î А È (В Ç С), тоді за означенням операцій È та Ç маємо x Î А або (x Î В і x Î С). За законом дистрибутивності “або” відносно “і” (x Î А або x Î В) і (x Î А або x Î С), тобто x Î А È В і x Î А È С. Це рівносильно x Î ( А È В) Ç (А È С), що й треба було довести.

Доведемо тепер, що (А È В) Ç (А È С) Ì А È (В Ç С). Для цього візьмемо будь-яке x Î (А È В) Ç (А È С). Звідси (x Î А або x Î В) і (x Î А або x Î С). Це рівносильно x Î А або (x Î В і x Î С), тобто x Î А È (В Ç С), що й потрібно було довести.

Таким чином, А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С).

Із властивості асоціативності операції об’єднання множин випливає, що об’єднання кількох множин можна виконати, послідовно об’єднуючи їх, причому порядок входження множин не впливає на результат: А È (В È С) = (А È В) È С = А È В È С. Отже, об’єднання сукупності множин можна подати співвідношенням: .

Аналогічно на n множин узагальнюється операція перетину: .

Використовуючи узагальнення операцій об’єднання та перерізу на n множин, можна узагальнити також інші співвідношення, наприклад закон де Моргана, який в узагальненому вигляді записується так: і .

Зауважимо, що операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A´B)´C і A´(B´C), а також множини A´B і B´A, взагалі кажучи, не рівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими операціями над множинами встановлюється такими тотожностями:

(A È B) ´ C = (A´C) È (B´C),

(AÇB) ´ C = (A´C)Ç(B´C),

A ´ (B È C) =(A´B) È (A´C),

A ´ (BÇC) =(A´B)Ç(A´C).

Сукупність підмножин A₁, A₂, …, A_n множини A називається розбиттям множини A, якщо:

1. ;

2. A_i Ç A_j = Æ, i, j=1,.., n, i ¹ j.

Читайте також:

1. Алгебра випадкових подій
2. Алгебра подій
3. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
4. Алгебраїчні критерії стійкості
5. Алгебраїчні операції
6. Алгебраїчні системи
7. Бюджетні множини й лінії бюджетного обмеження
8. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
9. Визначення множини допустимих планів задачі ЛП
10. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
11. Відмінок Однина Множина

Переглядів: 1593