Студопедия
Новини освіти і науки:
Контакти
 


Тлумачний словник






Алгебраїчні операції

 

Нехай Х – довільна множина. n-арною операцією на множині Х називається відображення f: Хn ® Х, яке кожному вектору (x1, x2, …, xn) Î Хn ставить у відповідність однозначно визначений елемент x Î Х. Це записується наступним чином: x = f(x1, x2, …, xn). Таких операцій на множині Х можна задати декілька. Множина операцій, заданих на Х, називається його сигнатурою й позначається F = (f1, f2, …).

Множину Х разом з її сигнатурою F називаємо алгеброю (алгебраїчною структурою) та позначаємо A(X, F). Множина Х – це так звана множина-носій алгебри.

Найбільш поширеними є бінарні операції, які далі будемо називати просто операціями. Бінарна операція (або закон композиції) на Х – це довільне (але фіксоване) відображення f:Х2 ® Х. Таким чином, будь-якій впорядкованій парі (x1, x2) елементів із Х ставиться у відповідність однозначно визначений елемент f(x1, x2) цієї ж множини Х. Часто бінарну операцію позначають якимось спеціальним символом: T, *, ◦, + та замість f(x1, x2) = z записують x T y = z. Коли зрозуміло про що йдеться, символ операції може пропускатися.

Операція Т називається асоціативною, якщо для будь-яких x, y, z Î Х виконується умова (x T y) T z = x T (y T z).

Операція Т називається комутативною, якщо для будь-яких x, y Î Х виконується умова x T y = y T x.

Операція T1 називається дистрибутивною зліва відносно операції T2, якщо для будь-яких x, y, z Î Х виконується умова x T1(y T2 z) =(x T1 y) T2 (x T1 z). Операція T1 називається дистрибутивною справа відносно операції T2, якщо для будь-яких x, y, z Î Х виконується умова (y T2 z) T1 x =(x T1 y) T2(x T1 z). Операція T1 називається дистрибутивною відносно операції T2, якщо вона одночасно є дистрибутивною зліва й справа.

Елемент е є нейтральним (одиничним) зліва відносно операції Т, якщо для будь-якого x Î Х виконується e T x = x. Елемент е є нейтральним (одиничним) справа відносно операції Т, якщо для будь-якого x Î Х має місце рівність x T e = x. Елемент е є нейтральним (одиничним) відносно операції Т, якщо він є одночасно нейтральним зліва й справа, тобто для будь-якого x Î Х виконується x T e = e T x = x. Якщо нейтральний елемент існує, то він є єдиним: дійсно, коли e1¹ e2, то з e1 = e1 T e2= e2 отримуємо суперечність.

Елемент x-1 називається оберненим зліва до елемента x Î Х відносно операції Т, коли x1 T x = e. Елемент x-1 називається оберненим справа до елемента x Î Х відносно операції Т, коли x T x-1 = e. Елемент x-1 називається оберненим до елемента x Î Х відносно операції Т, коли він є одночасно оберненим зліва й справа, тобто x-1 T x = x T x-1 = e.

У випадку, коли алгебраїчна структура має скінченне число елементів, можна для кожної заданої на ній бінарної операції будувати так звану таблицю Келі, яка повністю описує дану операцію. Число рядків і стовпців таблиці рівне числу елементів алгебри, а на перетині рядка й стовпця записується результат виконання операції над відповідними цим рядку й стовпцю двома елементами. Побудова таблиці Келі для операції Т алгебри показана далі.

Т a1 a2 an
a1 a1Ta1 a1Ta2 a1Tan
a2 a2Ta1 a2Ta2 a2Tan
an anTa1 anTa2 anTan

 


Читайте також:

  1. Активні операції банків
  2. Активні операції комерційних банків
  3. Алгебраїчні критерії стійкості
  4. Алгебраїчні системи
  5. Арифметичні операції
  6. Арифметичні операції в різних системах числення
  7. Арифметичні операції над цілими числами
  8. Банк і його операції. Правова природа банківської діяльності
  9. Бартерні операції
  10. Біржові операції.
  11. Біржові операції. Котирування цін на біржі




Переглядів: 1274

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Елементи абстрактної алгебри | Кільця та поля

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.001 сек.