• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Алгебраїчні критерії стійкості

В попередніх розділах відзначалось, що в автоматичних системах повинні виконуватись умови стійкості. Стійкість автоматичних систем – це їх властивість повертатись в початковий стан після того, коли будь-яка дія вивела систему з цього стану. Ознакою стійкості є збіжні перехідні процеси, наприклад для систем стабілізації

Загальні умови стійкості

Аналіз стійкості лінійних систем

(4.1)

де: - відповідно задане та поточне значення регульованої координати.

Рис.4.1. Перехідні процеси системи: а) – стійкої; б) – нестійкої;

в) - на межі стійкості

Лінійна АСР може знаходитись в трьох станах: бути стійкою, нестійкою та на межі стійкості (рис.4.1). Варто відзначити, що коли лінійна АСР знаходиться в одному з двох останніх станів, вона непрацездатна. Важливо також відзначити, що форма перехідного процесу, а також його показники (амплітуда, тривалість) при оцінці стійкості значення не мають, головне – перехідні процеси повинні бути збіжними. Виходячи з цього, можна зробити висновок, що стійкість АСР є умовою необхідною, але недостатньою, але в задачах аналізу і синтезу АСР в першу чергу оцінюється стійкість системи. Умова (4.1) відповідає стійкості системи в усталеному стані. В реальних умовах на систему постійно діють збурення, тому умова стійкості може відповідати вимозі: регульована координата повинна бути обмеженою при дії обмежених за велечиною збурень. В задачах аналізу та синтезу проблема стійкості ставить не лише визначення цієї оцінки, а також факторів, від яких залежить стійкість.

Враховуючи, що стійкість лінійних АСР залежить від вільного руху системи, можна записати відповідне однородне диференціальне рівняння:

(4.2)

Змушена складова руху системи, яка відповідає певному виду зовнішньої дії, на стійкість не впливає. Тоді математичним визначенням стійкості є:

(4.3)

Зрозуміло, що вихідна змінна системи буде наближатись до змушеної складової, яка визначається правою частиною диференціального рівняння, а при виконанні умови (4.3) стійкість називається асимптотичною. Тоді для нестійкої системи

(4.4)

На межі стійкості в системі виникає перехідний процес з постійною амплітудою (рис.4.1,в).

Вільна (перехідна) складова перехідного процесу, яка визначає стійкість системи, є розв’язком диференціального рівняння (4.2):

, (4.5)

де: - постійні інтегрування, які залежать від початкових умов;

- корені характеристичного рівняння:

(4.6)

Таким чином має суму складових, кількість яких визначається порядком системи n. В загальному випадку в рівнянні (4.6) оператор p замінюється на комплексну змінну λ. Тоді корені рівняння (4.6) є комплексними та утворюють пари спряжених комплексних чисел

(4.7)

Дійсна частина кореня може бути додатньою або від’ємною. Перехідна складова прямує до нуля лише тоді, коли кожна складова . Тоді можна визначити залежність стійкості системи від коренів характеристичного полінома:

- корені дійсні: . Якщо , то в системі виникає неколивальний (аперіодичний) перехідний процес, який при прямує до нуля, тобто система стійка. При перехідний процес розбіжний, тобто система нестійка (рис.4.2,а);

- корені комплексні попарно спряжені (рис.4.2,б) викликають коливальний перехідний процес, причому при - збіжний;

- корені уявні (рис.4.2,в) відповідають перехідному процесу у вигляді синусоїди (система на межі стійкості).

X

Рис.4.2. Залежність від коренів характеристичного полінома

Може бути також нульовий корінь, тоді значення Х приймає постійну величину.

Наведений матеріал дозволяє зробити такі висновки:

- перехідний процес в системі – сума коливальних та аперіодичних складових, при цьому кожна коливальна складова відповідає парі комплексних спряжених коренів, а кожна аперідична складова – дійсному кореню;

- загальною умовою загасання всіх складових і перехідного процесу в цілому є від’ємність дійсних частин всіх коренів характеристичного рівняння системи, тобто полюсів (нулів знаменника) передаточної функції системи;

- якщо є хоча б один корінь з додатньою дійсною частиною, то йому відповідає розбіжна складова перехідного процесу, тобто система нестійка;

- при наявності уявних коренів характеристичного рівняння в системі виникають назагасаючі коливання з частотою, яка дорівнює - границя стійкості.

Рис.4.3 Розташування коренів характеристичного рівняння на комплексній площині

Розташування коренів характеристичного полінома на комплексній площині показано на рис.4.3. Для стійкості системи всі корені повинні лежати в лівій напівплощині (бути “лівими”), а уявна вісь є межею стійкості. На межі стійкості може розташовуватись нульовий корінь або пара чисто уявних коренів. Необхідною, але недостатньою, умовою стійкості є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного полінома.

Для отримання характеристичного полінома можна використивувати передаточні функції системи, наприклад для замкненої системи відносно зміни завдання:

(4.8)

Подамо у вигляді:

, (4.9)

тоді

, (4.10)

де: D – характеристичний поліном, який співпадає з лівою частиною рівняння системи (4.2).

Розв’язуючи проблему стійкості, знаходять відповіді на ряд частинних питань:

- визначають структуру системи, в якій забезпечується стійкість;

- оцінюють межі змінювання параметрів системи, за яких вона зберігає стійкість та їх критичні значення, які виводять систему на межу стійкості (будують область стійкості);

- формують ряд додаткових заходів щодо збереження чи забезпечення стійкості, наприклад введення додаткових елементів чи зв’язків.

Таким чином, стійкість системи визначають на основі аналізу перехідного процесу або коефіцієнтів та коренів характеристичного поліному. В теорії автоматичного керування є ще один ефективний метод оцінки стійкості – використання критеріїв стійкості – узагальнених показників, які не потребують розв’язувати рівняння системи. Використовуються алгебраїчні та частотні критерії.

Алгебраїчні критерії встановлюють необхідні та достатні умови стійкості на основі визначників, складених з коефіцієнтів характеристичного рівняння системи. Англійський математик Є.Раус (1877 р.) та швейцарський математик А.Гурвіц (1893 р.) в різній формі запропонували критерій, згідно якого умови стійкості зводяться до виконання нерівностей, які зв’язують коефіцієнти рівняння системи. Для розв’язання прикладних задач ці критерії об’єднують в один – Рауса-Гурвіца. В загальному випадку ці критерії призначались для розв’язання чисто математичної задачі – дослідження стійкості розв’язків лінійного диференціального рівняння. Вище було показано, що за допомогою такого рівняння описується поведінка лінійної АСР.

На основі характеристичного полінома:

(4.11)

складається визначник:

(4.12)

Вираз (4.12) називається визначником Гурвиця і при його складанні виконуються правила:

- визначник має n рядків та n стовпців, в першому рядку розташовуються “непарні” коефіцієнти, після чого рядок доповнюється до числа n нулями;

- другий рядок включає всі “парні” коефіцієнти і також доповнюється нулями до числа n;

- третій та четвертий рядки отримують зсувом вправо відповідно першого та другого рядків на один елемент, а зліва проставляється нуль. Аналогічно отримують і наступні рядки;

- в головній діагоналі визначника розташовуються всі коефіцієнти, крім .

Критерій стійкості Рауса-Гурвиця формулюється так: автоматична система, яка описуються характеристичним поліномом (4.11) стійка, якщо при визначник та всі його діагональні мінори додатні. (Мінор – визначник, складений з елементів, розташованих на перетині будь-яких k рядків та k стовпців визначника). У виразі (4.12) мінори виділені пунктиром.

Останній стовпець визначника має лише один елемент , тому використовується відома залежність:

, (4.13)

яка розподається на дві за умови : . Коли , система знаходиться на межі стійкості. При цьому при існує один нульовий корінь (аперіодична межа стійкості), а при існує пара уявних коренів (коливальна межа стійкості).

Розглянемо використання алгебраїчного критерія для системи різних порядків. Для системи першого порядку характеристичний поліном має вигляд:

, (4.14)

а умова стійкості:

. (4.15)

Для системи другого порядку:

, (4.16)

, (4.17)

Таким чином, для системи першого і другого порядків необхідною і достатньою умовою стійкості є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Для системи третього порядку:

, (4.18)

(4.19)

Умови стійкості:

(4.20)

Остання нерівність за умови потребує . Таким чином, для системи 3-го порядку забезпечення стійкості вимагає не лише додатності всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, а й певного співвідношення між ними.

Для системи 4-го порядка:

(4.21)

(4.22)

Умова стійкості:

(4.23)

Для систем високих порядків () використання алгебраїчного критерія Рауса-Гурвиця стає незручним і потребує громіздких виразів. Крім того, цей критерій не дає можливості визначити, які заходи необхідно здійснити для забезпечення стійкості.

В теорії автоматичного керування використовується також алгебраїчний критерій Льєнара-Шіпара (1914 р.), який спрощує використання критерія Рауса-Гурвиця. Доведено, що необхідною і достатньою умовою стійкості при є вимога додатності всіх визначників з парними індексами або всіх визначників з непарними індексами .

Читайте також:

1. Абсолютні показники фінансової стійкості
2. Абсолютні показники фінансової стійкості та її типи
3. Алгебраїчні операції
4. Алгебраїчні системи
5. Аналіз фінансової стійкості підприємства
6. Аналіз фінансової стійкості підприємства
7. АНАЛІЗ ФІНАНСОВОЇ СТІЙКОСТІ ПІДПРИЄМСТВА
8. Аналіз фінансової стійкості підприємства.
9. Аналіз фінансової стійкості підприємства.
10. Аналіз фінансової стійкості та ліквідності підприємства.
11. Аналіз фінансової стійкості.

Переглядів: 3088