• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Об’єкти керування та їх властивості.

В першому розділі відзначалось, що в широкому розумінні термін “об’єкт керування “ може означати як елементарні процеси перетворення речовини та енергії, так і технологічний комплекс або підприємство в цілому.Тут розглядаються елементарні об’єкти автоматичного регулювання, для яких важливо підтримувати необхідний режим роботи із заданими показниками щодо стійкості та якості перехідних процесів. В задачах аналізу і синтезу використовуються математичні моделі об’єктів у вигляді залежностей вихідної змінної (регульованої координати) від вхідних змінних. Для оцінки властивостей об’єктів використовуються також різні динамічні характеристики. Математичні моделі об’єктів використовуються для різних цілей : розробка системи стабілізації технологічних режимів, оптимізація їх в статиці і динаміці. Для одного і того ж об’єкта може бути кілька математичних моделей в залежності від розв’язуваної задачі та степені деталізації моделей. При цьому враховуються такі особливості об’єктів як зосередженість чи розподіленість параметрів, нелінійність, нестаціонарність, запізнювання.

Математичні моделі (ММ) статикиоб’єктів із зосередженими параметрами описуються виразом :

X = f (u, z, a ), (3.40)

де : f – вектор-функція; u,z – вхідні змінні (керування та збурення), а – вектор параметрів моделі, який враховує особливості процесів, режимів та конструкцій об’єкта. Зосередженність параметрів означає, що технологічні змінні в різних точках об’єкта мають одинакові значення. Це можливо при інтенсивному перемішуванні робочого середовища об’єкта, наприклад в мішалках. Вектор а в ММ в явному вигляді може не фігурувати.

Якщо значення змінних в різних точках об’єкта, наприклад в трубопроводі, різні, то статика враховує розподіленість параметрів :

(3.41)

де : – просторова координата.

Динаміка об’єкта із зосередженими параметрами описуються диференціальним рівнянням :

(3.42)

Тут приймається, що швидкість змінювання координат Х в будь-якій точці об’єкта одинакова.

Динаміка об’єктів з розподіленими параметрами описується диференціальними рівняннями в частинних похідних для урахування змінювання Х за часом та за просторовою координатою :

(3.43)

Для нестаціонарних об’єктів враховуються змінювання їх властивостей за часом, тоді диференціальні рівняння мають змінні коефіцієнти.

Загальні властивості об’єктів регулювання. Об’єкти мають різне призначення, в них протікають різні процеси, вони відрізняються конструкцією, але з точки зору процесу керування ними можна виділити деякі загальні особливості і властивості :

- самовирівнювання – властивість об’єкта переходити самостійно з одного рівноважного стану в інший після нанесення певного вхідного сигналу, збурення. Наприклад, теплообмінні процеси при змінюванні навантаження самостійно переходять з одного стану рівноваги в інший з різними температурами середовища, збірники, в яких відбувається вільний витік рідини. Самовирівнювання – це наслідок внутрішнього від’ємного зворотнього зв’язку в стійкому об’єкті, що проявляється як вплив значення регульованої координати на приток та (чи) виток речовини або енергії. Ця властивість об’єкта полегшує процес регулювання, зменшує відхилення регульованих координат;

- інерційність, що проявляється в тривалості перехідних процесів і оцінюється постійними часу Т. Як відзначалось вище, тривалість перехідного процесу t_n = (3-4)Т;

- ємкість – кількість речовини чи енергії, яку може накопичувати та витрачати об’єкт в процесі регулювання. Для гідравлічних об’єктів – маса речовини, для теплових – кількість теплоти, для рухомих – момент інерції.

- запізнювання – час між подачею вхідного сигналу та моментом появи вихідної змінної. Розрізняють транспортне (чисте) запізнювання τ_зп = (– довжина шляху, v - швидкість) та перехідне, або ємкісне, яке викликається наявністю в об’єкті кількох ємкостей та опорів між ними.

Методи отримання математичних моделей об’єктівможна поділити на ряд класів в результаті чого отримують :

- аналітичні ММ (неформальні). При їх виведенні використовуються фундаментальні закони перетворення речовини та енергії, тепло- та масообміну, гідродинаміки та інше. В результаті отримують ММ, які описують клас об’єктів, є універсальними, і саме в цьому їх значущість і перевага перед іншими моделями.В той же час отримання аналітичних ММ потребує розкриття природи та механізмів процесів, що приводять до громіздких і незручних для використання математичних моделей. Крім того, при виведенні аналітичних ММ не можна обійтись без певних спрощень, що зменшує цінність цих ММ. В теорії автоматичного керування аналітичні моделі розробляють для елементарних об’єктів і приводять до зручного виду, наприклад до стандартної форми диференціальних рівнянь;

- Формальні моделі, для отримання яких використовується метод “чорного ящика”, коли не розкривається природа процесів, які протікають в об’єкті, а знаходяться такі математичні залежності, які з прийнятною точністю описують зв’язок між вхідними і вихідними змінними.Формальні моделі отримують експериментальним шляхом та перевіряють їх методами комп’ютерного моделювання;

- Комбіновані, які певною мірою об’єднують аналітичні та формальні методи, наприклад структура моделі визначається після вивчення природи об’єкта, а параметри моделі оцінюються експериментально.

Порядок отримання аналітичних ММ для елементарних об’єктів може бути таким :

- вивчаються в загальному вигляді природа об’єкта, процеси, які протікають в ньому, визначаються регульовані координати, збурення та можливі дії керування, складається так звана параметрична схема. Кількість регульованих координат визначає порядок математичної моделі;

- складаються рівняння матеріального та енергетичного балансів, визначаються математичні моделі для розкриття складових цих балансів;

- виконуються процедури лінеаризації нелінійних залежностей, приймаються припущення, які можуть спростити математичну модель, наприклад щодо зосередженості параметрів, постійних значень констант процесів і інш.;

- розглядаються порушення балансів і приймається припущення, що швидкість змінювання регульованих координат пропорційна величині небалансу. Диференціальні рівняння приводяться, по можливості, до стандартної форми;

- аналізуються отримані математичні моделі, складаються структурні схеми, проводиться комп’ютерне моделювання.

Аналітичні ММ повинні бути адекватними (відповідними) об’єкту та задачі, з необхідною точністю відтворювати статичні та динамічні властивості, бути зручними, наочними та, по можливості, простими.

Розглянемо приклади отримання аналітичних ММ елементарних об’єктів.

Приклад 1. Математична модель збірника як об’єкта регулювання рівня Н (рис.3.10.а). Характерною особливістю роботи об’єкта є те, що витрата речовини з нього здійснюється насосом, продуктивність якого не залежить від рівня Н.

Рис.3.10.Збірники рідини як об’єкти регулювання рівня.

Матеріальний баланс визначає рівність потоків на вході і виході збірника :

G_пр =G_{ст ,} (3.44)

H = const

Порушення балансу приводить до змінювання Н :

(3.45)

Рівняння (3.45) записано у відхилення змінних від їх номінального (розрахункового) значення. Домножимо рівняння (3.45) на величину

, де індекс “0” означає номінальне значення змінної (розрахунковий режим) , тоді :

(3.46)

або :

(3.47)

де : Т – постійна часу, К₁, К₂ – коефіцієнти передачі.

Рівняння (3.47) відповідає елементарній інтегральній ланці. При виведенні ММ приймались припущення, що площа поперечного перерізу збірника F по висоті постійна, в противному випадку ММ необхідно доповнити рівнянням для визначення F=f(H).

Рис.3.11. Структурна схема (а) та часова характеристика (б) збірника.

Структурна схема (рис.3.11,а) складається з двох передаточних функцій (інтегральних ланок), а часова характеристика показує, що збірник не має самовирівнювання.

Приклад 2.Для збірника, схема якого показана на рис.3.10.б, рівняння матеріального балансу та його порушення (3.44,3.45) мають такий же вигляд, але величина стоку G_ст залежить від рівня і визначається рівнянням Бернулі : (3.48)

де : - коефіцієнт витрати, f_кл – площа поперечного перерізу клапана, g – прискорення вільного падіння. Залежність (3.48) нелінійна, оскільки регульована координата знаходиться під знаком кореня і є також добутком двох змінних Н та f_кл. Лінеаризацію цього виразу можна провести при нульових умовах за рівнянням :

(3.49)

В результаті отримаємо :

(3.50)

В (3.50) отримано після взяття похідної та домножування чисельника і знаменника на . Підставимо (3.50) в (3.45) :

(3.51)

Приведемо вираз (3.51) до стандартного виду : перенесемо регульовану координату ∆Н в ліву частину і поділимо на коефіцієнт при ∆Н :

(3.52)

або остаточно :

(3.53)

Структурна схема та часова характеристика збірника показані на рис.3.12.

Рис. 3.12. Структурна схема (а) та часова характеристика (б) збірника

Головною особливістю цього об’єкта є наявність самовирівнювання, тобто здатність приходити самостійно в новий усталений стан після нанесення збурення. Наявність самовирівнювання в передаточних функціях відображається одиницею в знаменнику.

Поняття про типові моделі об’єкта.В ряді випадків можна скористатись при математичному моделюванні конкретних апаратів типовими моделями, до яких можна віднести :

- модель ідеального витіснення;

- модель ідеального змішування;

- однопараметрична дифузійна модель;

- комбіновані моделі.

Модель ідеального витіснення. Приймається поршнева течія рідини без перемішування вздовж потоку при рівномірному розподілі речовини (енергії) в напрямку, перпендикулярному рухові. Час перебування всіх часток в системі одинаковий та дорівнює відношенню об’єму до об’ємної витрати рідини. Рівняння моделі :

(3.54)

де : С – концентрація речовини; W – лінійна швидкість; Х – координата.

Приклад :модель трубчастого апарату при відношенні довжини труби до діаметра >100.

Модель ідеального змішування. Приймається рівномірний розподіл речовини (енергії) в потоці :

(3.55)

де : V_с – об’ємна швидкість потоку; V – об’єм системи.

Приклад :модель коротких трубопроводів, циліндричних апаратів з інтенсивним перемішуванням.

Однопараметрична дифузійна модель. Основою тут є модель ідеального витіснення, тобто поршневий потік, але при наявності зворотного перемішування, яке формально визначається законом дифузії. При складанні моделі приймаються припущення : зміна концентрації речовини (енергії) – неперервна функція координати (відстані); концентрація в даному поперечному перерізі постійна; об’ємна швидкість потоку та коефіцієнт поздовжнього перемішування не змінюється по довжині та перерізу потоку :

(3.56)

де : Д_L – коефіцієнт турбулентного перемішування (дифузії). Знаходиться експериментально.

Приклад :моделі структури потоків в апаратах, не розділених на ступені, наприклад в масообмінних апаратах з неперервним контактом.

Ячеїста (чарункувата, коміркувата) модель . Згідно моделі апарат умовно розподіляють на ряд послідовно з’єднаних ячейок, в кожній з них приймається повне перемішування потоку, а перемішування між ячейками відсутнє. Кількість ячейок – параметр моделі.

Приклад :каскад апаратів з мішалками.

Комбіновані моделі. При математичному моделюванні апаратів з байпасними та циркуляційними потоками, застойними зонами, одну модель використати не вдається. Тому використовується певне з’єднання типових моделей.

При експериментальному визначенністатичних та динамічних характеристик об’єктів використовуються різні вхідні сигнали : стрибкоподібний, імпульсний, гармонічний.Часто багатоємкісні об’єкти з невідомими характеристиками подаються у вигляді простих передаточних функцій, наприклад для об’єкта із самовирівнюванням (рис.3.13,а) задається така структура передаточної функції :

(3.57)

що відповідає послідовному з’єднанню аперіодичної ланки та ланки запізнювання.

τ_зп

Рис 3.13.Часові характеристики об’єктів : а) – із самовирівнюванням;

б) – без самовирівнювання.

В точці перегину А проводиться дотична, що дає можливість отримати оцінки постійної часу Т та часу запізнювання τ_зп, а коефіцієнт передачі визначається відношенням ∆Х до ∆U, тобто зміни вихідного сигналу (регульованої координати) до вхідного. Властивості об’єктів без самовирівнювання (рис.13.3,б) можна оцінювати послідовним з’єднанням інтегральної ланки і ланки запізнювання :

(3.58)

де : - швидкість розгону, ,а ,час розгону.

Використовуються також інші передаточні функції :

(3.59)

для яких експериментально визначається кількість ланок T,K,n.

Одним з методів експериментального визначення характеристик об’єкта є так званий пасивний, коли використовуються дані, які характеризують роботу об’єкта в режимі нормальної експлуатації, без внесення додаткових сигналів. Ці методи об’єднуються в окремий напрям – ідентифікація. Використовуються також спеціальні методи планування експериментів.

3.4.Закони керування та автоматичні регулятори.

В попередніх розділах було показано, що в автоматичних системах завжди формуються керуючі дії, спрямовані на забезпечення бажаного режиму функціонування об’єкта з урахуванням діючих збурень та характеристик об’єкта і зовнішнього середовища. Пристрій керування, а в автоматичних системах керування – автоматичний регулятор постійно перетворює отримувану інформацію в сигнал керування, який залежить в загальному випадку від відхилення ∆Х, збурення Z, а також від інтегральних показників та похідної регульованої координати. Ця залежність називається закономрегулювання (керування). В теорії автоматичного керування використовуються два підходи до вибору та застосування автоматичних регуляторів :

- визначення необхідного закону керування, виходячи з властивостей об’єкта та вимог до якості системи. В цьому випадку закон керування – математична залежність, яка може бути довільної форми будь-якої складності. В технічній літературі процедури отримання необхідного закону керування називають аналітичним конструюванням регуляторів;

- застосування типових законів керування, тоді для конкретного випадку обирається один з них та проводиться підбір параметрів (настроювання) для конкретних умов, тобто здійснюється параметричний синтез автоматичних регуляторів.

При реалізації законів керування технічними засобами автоматичні регулятори можуть бути неперервними (аналоговими) та дискретними. В неперервних вхідні та вихідні сигнали регуляторів є неперервними функціями часу, в дискретних, до яких відносяться релейні (позиційні), імпульсні та цифрові, вихідний сигнал має стрибкоподібну форму або є послідовністю імпульсів.

До типовихнеперервних законів керування відносяться :

- пропорційний (статичний) :

,(3.60)

де : К_рег – коефіцієнт передачі регулятора, ∆Х=Х_зд-X(t);

- інтегральний (астатичний) :

(3.61)

- диференціальний :

(3.62)

- пропорційно-диференціальний :

(3.63)

- пропорційно-інтегральний :

(3.64)

- пропорційно-інтегрально-диференціальний :

(3.65)

де : К_д – коефіцієнт диференціювання, часом його замінюють добутком К_д*Т_д (Т_д – час диференціювання), Т_і – час інтегрування (ізодрому).

У відповідності до наведених законів автоматичні регулятори називають : П-,І-, Д-, ПД-, ПІ- та ПІД-регуляторами. Ці закони керування та відповідні їм автоматичні регулятори є певною мірою універсальними, тобто можуть застосовуватись на різних об’єктах, в різних системах. Універсальність їм придає можливість змінювання в певних межах постійних коефіцієнтів рівнянь (3.60 – 3.65), які називають параметрами настроювання (настройки). У відповідності з цими параметрами настройки є : К_рег, К^ін_рег, К_д, Т_і. В сучасних технічних засобах, в тому числі в мікропроцесорних контролерах передбачається можливість використання найбільш універсального ПІД-регулятора, який може реалізувати і більш прості закони, наприклад при Т_і→∞ і К_д=0 ПІД-регулятор перетворюється в П-регулятор.

Як відзначалось раніше, динамічні властивості автоматичної системи регулювання визначаються як характеристиками об’єкта, так і автоматичного регулятора. З рівнянь (3.60-3.65) видно, що типові закони керування можна описати елементарними ланками (підсилювальною, інтегральною, диференціальною) та їх сполученням. При цьому необхідно враховувати, що наведені залежності відображають ідеалізовані закони регулювання. В задачах аналізу і синтезу використовуються передаточні функції автоматичних регуляторів, які відповідають рівнянням (3.60-3.65) :

- пропорційний регулятор :

(3.66)

- інтегральний регулятор :

(3.67)

- диференціальний регулятор :

(3.68)

- пропорційно-диференціальний регулятор :

(3.69)

- пропорційно- інтегральний регулятор :

(3.70)

- пропорційно-інтегрально-диференціальний регулятор :

(3.71)

Для кожного з цих регуляторів можна розглядати також часові та частотні характеристики, частина з них для прикладу наведена в табл.3.1.

Частотна характеристика

п/п

1. Пропорційний

2. Інтегральний

3. Диференціальний

4. Пропорційно-

інтегральний

5. Пропорційно-

інтегрально-

диференціальний

6. Пропорційно-

диференціальний

Аналізуючи процес регулювання з різними регуляторами, необхідно звернути увагу на такі головні показники як точність, наприклад підтримання Х_зд, та тривалість перехідних процесів.

Пропорційнийрегулятор характеризується високою швидкодією, він практично безінерційний. Запишемо його рівняння у вигляді :

(3.72)

Таким чином процес регулювання починається одразу, коли ,

тоді . Але процес регулювання закінчується при , а це може бути при ∆Х=const, тобто . Це так звана статична похибка ∆Х_ст (рис.3.14).

Х

DХ_ст

Рис.3.14.Перехідний процес в системі з П-регулятором.

В такій системі можлива множина станів рівноваги, вона називається статичною. Цим самим і визначається область застосування П-регуляторів : якщо статична похибка перевищує допустиме значення, то ці регулятори не застосовуються. Особливо важливим є оцінка процесу регулювання при різному навантаженні об’єкта : в статичних системах ∆Х_ст зростає при збільшенні навантаження (статична нерівномірність).

Аналогічно аналізується робота інших регуляторів :

- І-регулятор забезпечує в системі єдину точку рівноваги, але процес керування розпочинається пізніше, ніж з П-регулятором. Це видно з виразу :

(3.73)

В цьому випадку єдина точка рівноваги можлива лише за умови ∆Х=0, тобто X(t)=X_зд, відсутня статична похибка, система є астатичною. В той же час тривалість перехідного процесу зростає і, крім того, І-регулятор не може застосовуватись на об’єктах без самовирівнювання;

- Д-регулятор починає реагувати на прискорення сигналу похибки:

(3.74)

тобто процес регулювання розпочинається ще раніше, ніж в системі з П-регулятором, але закінчується перехідний процес при , тобто Д-регулятор не реагує на постійне відхилення ∆Х. Цей регулятор використовується лише як допоміжний пристрій для введення сигналу за похідною регульованої координати, так званого форсуючого сигналу, який діє лише на початку перехідного процесу;

- ПІ-регулятор розпочинає роботу так само швидко, як П-регулятор, але процес регулювання закінчується за умови ∆Х=0, тому час перехідного процесу буде більшим, ніж в системі з П-регулятором. Параметри настройки ПІ-регулятора можна визначити за його часовою характеристикою(рис.3.15) :

,в точці t=0, а Т_і – проекція на вісь часу лінії,

яка відповідає удвоєнню (К_{рег *}∆Х), тому Т_і називають ще часом

удвоєння П-складової;

Рис.3.15.Часова характеристика ПІ- регулятора.

- ПІД-регулятор разом з ПІ-регулятором є найбільш поширеними за рахунок того, що змінювання настройок дозволяє застосовувати ці регулятори з найбільшою ефективністю. При використанні ПІД-регулятора можна забезпечити необхідну точність та тривалість перехідного процесу, але знаходження оптимальних значень К_рег, Т_і, К_д є досить складною задачею.

При комп’ютерному моделюванні використовують структурні схеми ПІ- та ПІД-регуляторів (рис.3.16).

Рис.3.16.Структурні схеми а) ПІ-регулятора; б) ПІД-регулятора.

При технічній реалізації автоматичних регуляторів типові закони керування формуються за рахунок введення необхідних зворотніх зв’язків, крім І-регулятора, який не має зворотнього зв’язку. Для визначення типу зворотнього зв’язку автоматичний регулятор АР подається у вигляді двох частин з передаточними функціями регулюючого блока W_рб(р) та зворотнього зв’язку W_зз(p) (рис.3.17).

Рис.3.17.Структурна схема автоматичного регулятора.

В цьому випадку передаточна функція регулятора буде :

(3.75)

або :

(3.76)

Якщо прийняти досить великим коефіцієнт передачі регулятора (К_рег→∞), то можна записати :

(3.77)

Тобто властивості регулятора визначаються характером зворотнього зв’язку, звідки :

(3.78)

Цей вираз дає можливість зробити такі висновки для автоматичних регуляторів щодо зворотніх зв’язків в них :

- П-регулятор :

(3.79)

(3.80)

що відповідає підсилювальній ланці, яка реалізує жорсткий від’ємний зворотній зв’язок;

- ПІ-регулятор :

(3.81)

(3.82)

Це реальна диференціальна ланка, яка реалізує гнучкий від’ємний зворотній зв’язок (ізодромний). Характерною особливістю цього зворотнього зв’язку є те, що з часом його дія зменшується до нуля (Х_зз→0 при t→∞);

- ПІД-регулятор :

(3.83)

(3.84)

Цей зворотній зв’язок відповідає послідовному з’єднанню реальної диференціальної і аперіодичної ланок, це – інерційний гнучкий від’ємний зворотній зв’язок;

- ПД-регулятор :

(3.85)

(3.86)

Цей зв’язок називається інерційним жорстким від’ємним зворотнім зв’язком, який реалізується аперіодичною ланкою.

Наведені закони керування відповідають ідеальним регулятором, а реальні регулятори мають відхилення від наведених залежностей в зв’язку з неточним відтворенням математичних моделей, можливих нелінійностей і т.д. Відхилення характеристик реальних регуляторів від ідеальних допускається : за модулем – до 100%, за фазою – до 15% на робочій частині.

[1, c.44-80; 2, c.116-126]

Контрольні запитання.

1. Що таке структурні схеми і де вони використовуються?

2. Наведіть приклади типових з’єднань елементів системи і отримання еквівалентних передаточних функцій.

3. Покажіть роль зворотніх зв’язків в автоматичних системах.

4. Які основні правила використовуються при перетворенні структурних схем?

5. Наведіть приклади спрощення структурних схем, зокрема усунення перехресних з'язків.

6. Які чотири передаточні функції характеризують властивості одноконтурної замкненої АСР? Виведіть вирази для них.

7. Що таке математична модель об’єкта? В чому особливості математичних моделей об’єктів із зосередженими та розподіленими параметрами?

8. Які загальні властивості мають об’єкти різної природи?

9. Наведіть класифікацію математичних моделей об’єктів та методику отримання аналітичних моделей елементарних об’єктів.

10. Типові математичні моделі, область їх застосування.

11. Експериментальні методи визначення динамічних характеристик

об’єктів. Які передаточні функції використовуються для опису

об’єктів?

12.Наведіть типові закони регулювання : рівняння, передаточні функції, часові та частотні характеристики автоматичних регуляторів.

13. Проаналізуйте особливості процесів керування з різними регуляторами. Що таке органи настройки автоматичних регуляторів?

14. Охарактеризуйте зворотні зв’язки в автоматичних регуляторах, наведіть їх рівняння та передаточні функції.

15. Наведіть рівняння динаміки багатовимірної системи, векторно-матрична форма його представлення.

16. Фазові координати, фазовий простір, математичні моделі в координатах стану.

17. Спостережність та керованість багатовимірних систем. Приклад.

Читайте також:

1. D-тригер з динамічним керуванням
2. Автократично-демократичний континуум стилів керування.
3. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
4. Автоматизація меліоративних помпових стацій. Автоматизація керування помповими агрегатами.
5. Агресивне керування портфелем акцій
6. Алгоритми керування ресурсами
7. Аналіз конструкції рульового керування.
8. Аналізатори людини та їхні властивості.
9. Аналізатори людини та їхні властивості.
10. Апарати керування пневматичними приводами.
11. Багатокритеріальні завдання оптимального керування
12. Блок формування імпульсів керування

Переглядів: 6964