Відношення порядку на множині цілих невід’ємних чисел.

Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.

Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.

4.Операцію додавання на множини цілих невід’ємних чисел також введемо аксіоматично. Для цього сформулюємо дві додаткові аксіоми, які визначають в множині цілих невід’ємних чисел бінарну алгебраїчну операцію, яка однозначно визначена і задовольняє аксіомам 5 – 6.

Означення:додаванням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!),яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZo² ставить у відповідність ціле невід’ємне число (а+в)єZo, таке, що виконуються аксіоми 5 і 6.

Аксіома 5:для будь–якого цілого невід’ємного числа справедлива рівність а+0=а (символічно ці аксіома запишеться так: ("аєZo)(а+0=а). Вона визначає операцію додавання з нулем).

Аксіома 6:("а,вєZo)(а+в'=(а+в)').

Інколи можна зустріти і таке формулювання аксіом:

Аксіома 5: при додаванні нуля до будь-якого цілого невід’ємного числа отримуємо те саме ціле невід’ємне число (символічно ця аксіома запишеться так: (VаєZ_o)[а+0=х]).

Аксіома 6: при додаванні до а будь-якого цілого невід’ємного числа, яке безпосередньо слідує за числом в, отримуємо ціле невід’ємне число, яке безпосередньо йде за числом а+в (символічно ця аксіома запишеться так: (Vа,вєZ_o)[а+в'=(а+в)']. Саме така рівність обумовлена тим, щов'=в+1, а тоді а+в'=а+(в+1)=(а+в)+1=(а+в)').

Ввівши аксіоматичне означення операції додавання цілих невід’ємних чисел, ми нічого не знаємо про її існування та єдиність. Саме тому слід довести відповідні теореми.

Теорема 1:(про існування та єдиність операції додавання):операція додавання в множині Z_oцілих невід’ємних чисел існує і єдина або існує одне і тільки одне відображення f : Z_o²®Z_o, яке кожній парі (а,в)єZ_o ставить у відповідність єдине ціле невід’ємне число (а+в)єZ_o .

Доведення:

Оскільки в теоремі йдеться про існування та єдиність, то доведення складається з двох частин. У першій частині методом від супротивного доведемо, що операція додавання, якщо вона існує, єдина. Після цього з використанням методу математичної індукції доводиться існування такої операції. Припустимо, що існує принаймні дві операції додавання, які позначимо + і , причому для них виконуються аксіоми 5 і 6: а+0=а, а+в'=(а+в)'; а0=а, ав'=(ав)'.

Розглянемо множину М, яка є підмножиною множини Z_o. Нехай у цій множині М ці дві операції додавання єдині, Покажемо, що множина М співпадає з множиною Z_o. Відповідно до методу математичної індукції потрібно перевірити виконання умов аксіоми 4. Оскільки а+о=а і а0=а, то а+0=а0, тобто для нуля обидві операції однакові (єдині) і 0єМ. Припустимо, що ці операції єдині для будь-якого цілого невід’ємного числа вєМ, тобто в+0=в0. Спробуємо довести, що в'єМ, тобто а+в'=ав' – умова аксіоми 6. Виконання цієї умови означатиме, що обидві операції додавання для в'єZ_o однакові, а тому в'єМ, а тоді за аксіомою 4 множина М співпадає з множиною цілих невід’ємних чисел Z_o, тобто в множині Z_o операції додавання + і виявились однаковими. Оскільки згідно припущення маємо: а+в=ав, то за аксіомою 6 а+в'=(а+в)'=(ав)'=ав'. Таким чином, і для в' операції + і однакові, тобто в'єZ_o. За аксіомою 4 можна твердити, що множина М співпадає з множиною Z_o. Саме тому наше припущення про неєдиність операцій додавання було хибним. Отже, якщо операція додавання існує, то вона єдина.

У другій частині доведемо, що операція додавання в множині Z_o існує. Для цього знову використаємо метод математичної індукції (в подальшому для скорочення пояснень будемо використовувати абревіатуру ММІ). Утворимо множину МєZ_o, в якій операція додавання існує і виконуються аксіоми 5 і 6: а+0=а; а+в'=(а+в)'. Спочатку застосуємо ММІ для в=0. Якщо а=0, то 0+0=0 (за аксіомою 5). 0+0'=(0+0)'=0'. Оскільки для а=0 аксіоми 5 і 6 виконуються, то 0єМ. Тепер застосуємо ММІ для довільного вєZ_o, тобто доведемо, що існує операція а+в, так , що виконуються аксіоми 5 і 6. Для цього припустимо, що 0+в=в, тоді 0+в'=(0+в)'=в' (за аксіомою 6). Таким чином, для 0 і довільного в операція додавання існує. Припустимо, що операція додавання виконується для довільного аєМ, тобто справджуються аксіоми 5 і 6. а+0=а, а+в'=(а+в)'. Спробуємо довести, що до множини М входить елемент а'. Для цього виберемо, що а'+в=(а+в)'. Перевіримо, чи виконуються аксіоми 5 і 6. а'+0=(а+0)'=а'; а'+в'=(а'+в)'=(згідно аксіоми 6)=((а+в)')'=(а+в')'. Отже, аксіома 6 для а' виконується, тому а'єМ. Оскільки вимоги аксіоми 4 виконані, то М=Z_o і операція додавання існує не тільки в множині М, а і в множині Z_o. Теорему доведено повністю.

Теорема 2:операція додавання в множині цілих невід’ємних чисел підкоряється асоціативному (сполучному) закону.

Символічно ця теорема запишеться так: ("а,в,сєZ_o)((а+в)+с=а+(в+с)=а+в+с).

Теорема 3:операція додавання в множині цілих невід’ємних чисел підкоряється комутативному (переставному) закону.

Символічно ця теорема запишеться так: ("а,вєZ_o)(а+в=в+а).

Ми вже зазначали, що в математиці доведено рівносильність теоретико-множинної та аксіоматичної теорії цілих невід’ємних чисел, а тому справедливість теорем 2-3 приймемо без доведення, зазначивши, що теореми 2 і 3 також доводяться з використанням методу математичної індукції. Аксіоми 5 і 6 та теореми 1-3 повністю визначають операцію додавання на множині цілих невід’ємних чисел, але для її виконання потрібно скласти відповідні таблиці додавання. Вони, якщо їх знати напам’ять, дадуть можливість швидко виконувати обчислення. В курсі математики початкових класів існують вісім таблиць додавання: таблиця додавання числа 2, таблиця додавання числа 3, таблиця додавання числа 4, таблиця додавання числа 5, таблиця додавання числа 6, таблиця додавання числа 7, таблиця додавання числа 8, таблиця додавання числа 9. Побудова таблиць додавання ґрунтується на наступній теоремі.

Теорема 4: для будь-якого цілого невід’ємного числа х справедлива рівність х+1=х′ (символічно: ("хєZ_o)(х+1=х′)).

Доведення:

Оскільки 1=0′, то х+1=х+0′. За аксіомою 6 маємо х+0′=(х+0)′. За аксіомою 5 маємо: х+0=х. Отже, х+1=х+0′=(х+0)′=х′, що і треба було довести.

Як відомо, виконання операції додавання ґрунтується на таблицях додавання. Їх будують, ґрунтуючись на аксіомах 5 і 6. Побудову таблиць додавання покажемо на кількох прикладах. Наприклад: 0+0=0 - за аксіомою 5; 0+1=0+0'(за аксіомою 6)=(0+0)'=0'=1; 2+2=2+1′=(2+1)′=3′=4; 3+2=3+1′=(3+1)′=4′=5; 5+2=5+1'=(5+1)'=6'=7.

5.Операцію множення на множини цілих невід’ємних чисел також введемо аксіоматично. Для цього сформулюємо дві додаткові аксіоми, які визначають в множині цілих невід’ємних чисел бінарну алгебраїчну операцію, яка однозначно визначена і задовольняє аксіомам 7–8. Аксіома 7 визначає правила знаходження добутку, коли другий множник дорівнює нулю, а аксіома 8 – вказує на правило знаходження добутку числа а та числа, яке безпосередньо йде за числом в. Операція, з допомогою якої знаходиться добуток, називається операцією множення. Отже, можна прийняти таке означення:

Означення:множенням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!), яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZ_o² ставить у відповідність ціле невід’ємне число а×в - добуток чисел а і в - та задовольняє аксіоми 7 і 8:

Аксіома 7: при множенні будь-якого цілого невід’ємного числа а на нуль отримуємо нуль (символічно ця аксіома запишеться так: (VаєZ_o)[а×0=0]).

Аксіома 8: при множенні будь-якого цілого невід’ємного числа ана число, що безпосередньо йде за числом в, отримуємо ціле невід’ємне число а×в+а (символічно ця аксіома запишеться так: (Vа,вєZ_o)[а×в'=а×в+а]).

Оскільки в означенні нічого не говориться про існування та єдиність такої операції, а також про закони, яким вона підкоряється на множині цілих невід’ємних чисел, то слід довести відповідні теореми.

Теорема 5 (про існування та єдиність добутку): операція множення цілих невід’ємних чисел існує і єдина або існує одне і тільки одне відображення f : Z_o²®Z_o, яке кожній парі (а,в)єZ_o² ставить у відповідність єдине число а×вєZ_o так, що виконуються аксіоми 7 і 8.

Доведення:доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо єдиність операції множення. Доведення проводиться аналогічно до теореми про єдиність операції додавання (пропонуємо студентам виконати відповідне завдання № 1 для самостійної роботи).

У другій частині доведемо існування бінарної алгебраїчної операції. Для доведення існування відповідності Z_o²®Z_o використаємо метод математичної індукції (ММІ). Утворимо деяку множину МÌZ_o, в якій операція множення існує і підкоряється аксіомам 7 і 8. Якщо а=0, то будемо вважати, що для довільного вєZ_o а×в=0. Таке відображення задовольняє аксіоми 7 і 8, бо при а=0, маємо 0×0=0 (за аксіомою 7) і 0×в'=0×в+0=0+0=0. Отже, 0єМ. Припустимо, що для аєМ операція множення існує, тобто виконуються аксіоми 7 і 8: а×0=0; а×в'=а×в+а. Спробуємо довести, що а'єМ. Виберемо, що а'в=ав+в, а потім покажемо, що ця рівність визначає для а' добуток, який підкоряється аксіомам 7 і 8.

а'×0=а×0+0 (згідно вибору) =0+0 (згідно аксіоми 7) =0 (за аксіомою 5). Розглянемо а'в=ав'+в'= (згідно вибору ав') =ав+а+в+1= (за аксіомою 8 та означенням в') =(ав+в)+(а+1)= (згідно переставного і сполучного законів додавання) =а'в+а' (згідно вибору а'в та визначення а'). Отже, для а' виконується аксіома 8, а тому а'єМ. Таким чином, множина М=Z_o, бо для М виконуються всі вимоги аксіоми 4. Теорема доведена.

Теорема 6:операція множення на множині цілих невід’ємних чисел підкоряється комутативному (переставному) закону (символічно: ("а,вєZ_o)[а×в=в×а]).

Теорема 7: операція множення на множині цілих невід’ємних чисел підкоряється асоціативному (сполучному) закону (символічно: ("а,в,сєZ_o)[(а×в)×с=а×(в×с)]).

Теорема 8: операція множення на множині цілих невід’ємних чисел пов’язана з операцією додавання дистрибутивним (розподільним) законом множення відносно додавання (символічно: ("а,в,сєZ_o)[(а+в)×с=а×с+в×с]).

Так само, як і для операції додавання, доведення теорем 6-8 проводиться з використанням методу від супротивного та методу математичної індукції. Ми приймемо справедливість цих теорем без доведення, враховуючи еквівалентність різних теорій цілих невід’ємних чисел. На основі аксіом 7 і 8 та теорем 6-8 можна побудувати таблиці множення, з допомогою яких можна значно спростити знаходження добутку будь-яких цілих невід’ємних чисел. Ці таблиці слід знати напам’ять. Існує вісім таблиць множення: на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9. Їх побудову покажемо на кількох прикладах. 2×2=2×1¢=2×1+2= (згідно аксіоми 8) =2 (згідно аксіоми 7)+2=4 (згідно таблиці додавання). 5×6=5×5¢=5×5+5=25+5=30.

6. Із курсу математики відомо, що для числових множин важливо вміти порівнювати числа. Для цього на множині необхідно задати відношення порядку. Введені в аксіоматичній теорії цілих невід’ємних чисел означення операцій додавання, віднімання, множення та ділення ґрунтуються на відношенні “безпосередньо слідує за”, яке пов’язує не довільні цілі невід’ємні числа, а лише сусідні. Отже, постає проблема визначення на цій множині відношення порядку. Зробимо це за допомогою наступного означення.

Означення: говорять, що ціле невід’ємне число абільше за ціле невід’ємне число в, якщо існує таке натуральне число k, що виконується рівність а=в+k.

Для позначення відношення “більше” використовують символічний запис “а>в”, який читають так: а більше в або в менше а. Ми вже зазначали, що а¢=а+1, а тому а¢>а. Звідси випливає, що відношення “більше” є розширенням відношення “безпосередньо слідує за”. Таким чином, можна твердити, що у множині цілих невід’ємних чисел немає найбільшого числа. Оскільки на множині цілих невід’ємних чисел ми задали відношення “менше” (або “більше”), то множина цих чисел стає упорядкованою. Враховуючи сказане, приймемо наступні означення.

Приєднаємо до множини цілих невід’ємних чисел числа, протилежні до натуральних, тобто –1, -2, -3,...,-n,... . Результатом такого об'єднання стає утворення множини цілих чисел, яку позначають так: Z={0, ±1, ±2, ±3, ... ±n, ...}. Розглянемо властивості цієї множини.

Властивість 1: Множина цілих чисел впорядкована.

Властивість 2: Множина цілих чисел дискретна.

Щоб зрозуміти, яка множина є дискретною, введемо два означення.

Означення: елементи а і b, які належать множині А, називаються сусідніми, якщо не існує такого елемента с, який лежить між елементами а і b таналежить множині А.

Означення: множина А називається дискретною, якщо для кожного її елемента існує сусідній.

Властивість 3: множина цілих чисел немає ні найменшого, ні найбільшого числа (цю властивість можна сформулювати так: множина цілих чисел нескінченна).

Означення: множина називається замкненою відносно деякої алгебраїчної операції, якщо для будь-яких двох елементів цієї множини завжди можна знайти третій елемент, що належить цій множині, та є результатом цієї операції.

Властивість 4: множина цілих чисел замкнена відносно операцій додавання, віднімання та множення.

Сформульовані властивості приймемо без доведення.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.	\|	Поняття натурального ряду чисел та його відрізка. Лічба елементів скінченої множини. Порядкові і кількісні натуральні числа.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.