Необхідні та достатні умови додатньої (від’ємної) визначе-ності квадратичної форми дає наступна теорема.
ТЕОРЕМА 2. Для того,
щоб квадратична форма
L = X T AX була додатньо(від’ємно)визначеною,необхідно й
досить, щоб всі власні значенняλi
( i=1,2,...,n ) матриці A були
Додатніми(від’ємними).
Дану теорему приводимо без доведення.
В багатьох випадках для встановлення знаковизначеності ква-дратичної форми зручно застосовувати критерії Сільвестра.
ТЕОРЕМА 3.Для того,щоб квадратична форма була дода-тньо визначеною, необхідно і досить, щоб всі головні мінори ма-триці цієї форми були додатніми, тобто
1 > 0 ,
2 > 0 ,...,
n > 0 ,де1 = a11 , 2
=
a11
a12
, …
a21
a22
a11
a12
...
a1n
n
=
a21
a22
...
a2n
.
...
... ... ...
an1
an2
...
ann
Слід зауважити, що для від’ємно визначених квадратичних форм знаки головних мінорів чергуються, починаючи з знаку “мі-нус” для мінора першого порядку.
Наприклад, квадратична форма L в прикладі 2 є додатньо ви-значеною на основі теореми 2, так як корені характеристичного рів-няння λ1=6 і λ2=1 є додатніми.
Другий спосіб. Так як головні мінори матриці A.
a11
= 2,
a11
a12
=
= 6
є додатніми, то за критерієм
a21
a22
Сільвестра дана квадратична форма є додатньо визначеною.