• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

ТЕОРЕМА 1. Довільна квадратична форма приводиться до канонічного вигляду.

Доведення. Нехай задана квадратична форма(2.44)з матри-

→ → →

цею (2.45) в базисі e1,e₂,..., en.

Так як A симетрична матриця, то існує ортогональна матриця

Примітка. Дійсна квадратна матриця називається ортогональ-ною, якщо сума квадратів елементів кожного стовпчика дорівнює одиниці і сума добутків відповідних елементів із двох різних стовпчиків дорівнює нулю. Необхідна і достатня умова

ортогональності матриці В є умова В^T ⋅ B = Е.

→

Нехай X і Y є вектори- стовпчики із координат вектора x відповідно в базисах (2.46) і (2.47). Тоді X = BY і

X ^T AX = ( BY )^T A( BY ) = Y ^T B^T ABY = Y ^T B⁻¹ ABY = Y ^T CY

або

Примітка. При доведенні даної теореми використали транс-понування добутку матриць за формулою (СY )^T = Y^T ⋅ C^T.

Зауважимо, що в канонічній формі (2.48) λ ₁,λ ₂,...,λ _n є влас-ними числами матриці A .

Приклад 2.Привести квадратичну форму2x₁²+4x₁x₂+5x₂²до

канонічного вигляду з допомогою ортогональної матриці і знайти її. Розв’язування. Матриця даної квадратичної форми має вигляд

них чисел і власних векторів

6 y₁² + y₂² .

Знайдемо ортогональну матрицю.

Стовпчиками ортогональної матриці, яка приводить квадрати-чну форму до канонічного вигляду є ортонормовані власні вектор-стовпчики матриці A.

Спочатку знайдемо нормований власний вектор-стовпчик ма-триці A з власним значенням λ ₁ = 6.Для цього із системи (2.49) ма-

даного приклада 2.

Розглянемо на прикладі ще один метод приведення квадрати-чної форми до канонічного вигляду.

Метод Лагранжа приведення квадратичної форми до каноніч-ного вигляду заключається в послідовному виділенні повних квад-ратів.

Приклад 3.Привести до канонічного вигляду квадратичну

форму L( x₁, x₂, x₃) = x₁² − 6 x₁x₂ + 4 x₁x₃ + 2 x₂x₃ + x₃² методом Лаг-

ранжа. Спочатку виділимо повний квадрат при змінній x₁ , коефіці-єнт при якій відмінний від нуля.

L =[x ₁² − 2 x₁ ( 3 x₂ − 2 x₃ ) + ( 3 x₂ − 2 x₃ )² ]+ 2 x₂ x₃ + x₃² −

− ( 3 x₂ − 2 x₃ )² = ( x₁ − 3 x₂ + 2 x₃ )² + 2 x₂ x₃ − 9 x₂² + 12 x₂ x₃ − 3 x₃³ == ( x₁ − 3 x₂ + 2 x₃ )² + 2 x₂ x₃ + x₃² − 9 x₂² + 12 x₂ x₃ − 4 x₃² = ( x₁ − 3 x₂ +

приводить дану канонічну форму до канонічного вигляду

L₁ ( y₁ , y₂ , y₃ ) = y₁² − 9 y₂² + ²² y₃² .

9

Канонічний вигляд квадратичної форми не є однозначним, так як одна й та ж квадратична форма може бути приведена до каноніч-ного вигляду багатьма способами. Однак одержані різними спосо-бами квадратичні форми мають ряд спільних властивостей.

Сформулюємо одну із цих властивостей, яка виражає закон інерції квадратичних форм, що заключається в наступному: всі ка-нонічні форми, до яких приводиться дана квадратична форма, ма-ють:

1) одне й те ж число нульових коефіцієнтів;

2) одне й те ж число додатніх коефіцієнів;

3) одне й те ж число від’ємних коефіцієнтів.

Означення1.Квадратична форма L( x₁ , x₂ ,..., x_n ) назива-

ється додатньо визначеною, якщо для всіх дійсних значень x₁ , x₂ ,..., x_n використовується нерівність L( x₁ , x₂ ,..., x_n ) > 0 .

Означення2. Якщо L( x₁ , x₂ ,..., x_n ) є додатньо визначеною формою, то квадратична форма L( x₁ , x₂ ,..., x_n ) < 0 називається

Читайте також:

1. II. Критерій найбільших лінійних деформацій
2. III.4 Форматування тексту.
3. IV. Виклад інформаційного матеріалу
4. IV. Виклад інформаційного матеріалу
5. IV. Критерій питомої потенціальної енергії деформації формозміни
6. IV. Прийняття рішень у полі четвертої інформаційної ситуації
7. R – розрахунковий опір грунту основи, це такий тиск, при якому глибина зон пластичних деформацій (t) рівна 1/4b.
8. Tема 4. Фації та формації в історико-геологічному аналізі
9. V. Прийняття рішень у полі п’ятої інформаційної ситуації
10. VI. Прийняття рішень у полі шостої інформаційної ситуації
11. Абсолютизація формально-технічних пошуків у мистецтві ХХ ст.
12. Автоматизована форма обліку

Переглядів: 818