Квадратичні форми.
Означення. Квадратичною формою L( x1 , x2 ,..., xn ) від n
Змінних називається сума, кожен член якої є або квадратом од-нієї із змінних, або добутком двох різних змінних, взятих з деяким коефіцієнтом, тобто
n n
|
|
| L( x1 , x2 ,..., xn ) =∑∑aij xi x j .
| (2.44)
| i = 1 j =
|
|
|
Допускаємо, що в квадратичної форми (2.44) aij - дійсні числа.
Розпишемо квадратичну форму (2.44), розбивши доданки, що містять добутки змінних на дві рівні частини
L( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + ...+ a1n x1 xn + a21 x2 x1 + a22 x2 2 + ...+
+ a2n x2 xn + ...+ an1 xn x1 + an2 xn x2 + ...+ ann xn2 .
Матриця
| a
|
| a
|
| ...
| a
| 1n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A = ( aіj
| ) = a21
| a22
| ...
| a2n
| ,
| (2.45)
|
|
| ... ...
| ...
| ...
|
|
|
|
|
|
| an2
| ...
|
|
|
|
|
|
|
| an1
| ann
|
|
|
| або A = {aij } ( i , j = 1,2,...,n ) є симетричною, так як aij
| = a ji ,
|
| називається матрицею квадратичної форми (2.44).
Рангом квадратичної форминазивається ранг її матриці.Квадратична форма називається невиродженою, якщо її матриця невироджена.
Якщо XT = ( x1, x2,..., xn) , то квадратичну форму можна пе-реписати в матричному вигляді L( x1, x2,..., xn) = XTAX .
Вираз XTAX представляє собою квадратичну форму в мат-ричному вигляді.
Приклад 1. Записати в матричному вигляді квадратичну фор-
му L( x1, x2, x3) = 2 x12 − 3 x22 + x32 + 8 x1x2 + 2 x1x3.
Розв'язування. Матриця даної квадратичної форми має вигляд
|
|
|
|
|
| x1
|
|
| Значить
| L( x1 , x2 , x3
| ) = ( x1 x2 x3
|
| − 3
|
|
|
|
| ) 3
| x2
| .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1
| x3
|
|
| Квадратична форма називається канонічною (або другими словами має канонічний вигляд), якщо всі aij = 0 , коли i ≠ j . Тоді
квадратична форма буде мати вигляд
n
L = a11 x12 + a22 x22 + ...+ ann xn =∑aii xi2 . i = 1
Розглянемо таку теорему.
Читайте також: - Атипові форми.
- Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
- В) Конкуренція суть, форми.
- Взаємодія культур і національна самобутність народів. Тенденції культурної універсалізації та її форми.
- Види об’єднань підприємств, їх організаційно-правові форми.
- Власність як економічна категорія. Структура власності, її типи, види і форми.
- Генезис форм господарювання. Натуральне виробництво: сутність і риси. Товарне виробництво: сутність, умови виникнення, розвиток та форми. Суперечності товарного виробництва.
- Державне регулювання суспільного відтворення та його форми. Планування та програмування
- Доходу, його форми.
- Економічні основи розвитку підприємництва та його види і форми. Інтереси підприємців та суспільства.
- Зайнятість: суть і форми. Теорії зайнятості.
- Заробітна плата та її форми.
Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:
|
|