Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник






Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі

Теорема. Матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого ортонормованого базису є ортогональною.

Доведення. Нехай e1, e2,, en та e1, e2,, en - два ортонормовані базиси в евклідовому просторі V і С– матриця переходу. Тоді

Розглянемо лінійне перетворення С з матрицею С в базисі e1, e2,, en. Отримаємо

Але лінійне перетворення С , яке переводить ортонормований базис в ортонормований, є ортогональним (див. розділ 9, §2,в). Отже, С – ортогональна матриця.▲

Нехай тепер в евклідовому просторі V вибраний ортонормований базис e1, e2,, en і нехай дана білінійна функція А(х, у), яка в цьому базисі подається білінійною формою

А(х, у)

де . Розглянемо лінійне перетворення А з тією ж матрицею А в тому ж базисі e1, e2,, en. При переході до нового базису e1,e2,,en з матрицею переходу С матриця А білінійної форми перейде в

В=,

a матриця лінійного перетворення А перейде в , тобто взагалі ці матриці перетворюються неоднаково. Однак, якщо новий базис e1, e2,, en - теж ортонормований, то матриця переходу С ортогональна, і . В цьому випадку матриця білінійної форми А(х, у) і матриця лінійного перетворення А змінюється однаково. Таким чином, в евклідовому просторі кожній білінійній функції відповідає цілком визначене лінійне перетворення (яке має ту саму матрицю в довільному ортонормованому базисі).

Якщо А(х, у) – симетрична білінійна функція, то відповідне лінійне перетворення А буде самоспряженим. Але матриця самоспряженого перетворення в деякому ортонормованому базисі має діагональний вигляд:

.

В цьому ж базисі білінійна форма А(х, у) зведеться до вигляду

,

а відповідна квадратична форма А(х, х) зведеться до суми квадратів:

,

тут – власні значення лінійного перетворення А.

Приклад. З допомогою ортогонального перетворення звести квадратичну форму в евклідовому просторі до суми квадратів.

Розв’язання.Запишемо характеристичний многочлен матриці цієї форми .

Його корені: .

В новому базисі (який складається із власних векторів, що відповідають власним значення і )

А(х, х) =.

Спосіб відшукання власного базису вже розглядався.

 


Читайте також:

  1. А/. Форми здійснення народовладдя та види виборчих систем.
  2. Автоматизовані форми та системи обліку.
  3. Аграрні реформи та розвиток сільського госпо- дарства в 60-х роках XIX ст. — на початку XX ст.
  4. Акредитив та його форми
  5. Активні форми участі територіальної громади у вирішенні питань ММС
  6. Анатомія параректальних просторів
  7. Банківський контроль та нагляд: форми та мета здійснення. Пруденційний нагляд: поняття, органи та мета проведення.
  8. Батьки мають право обирати форми та методи виховання, крім тих, які суперечать закону, моральним засадам суспільства.
  9. Безособові дієслівні форми на –но, -то
  10. Безробіття: суть, причини, форми та соціально-економічні наслідки
  11. Бланки, форми і штампи




Переглядів: 862

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Класифікація квадратичних форм | Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.001 сек.