• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі

Теорема. Матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого ортонормованого базису є ортогональною.

Доведення. Нехай e₁, e₂,…, e_n та e₁’, e₂’,…, e_n’ - два ортонормовані базиси в евклідовому просторі V і С– матриця переходу. Тоді

Розглянемо лінійне перетворення С з матрицею С в базисі e₁, e₂,…, e_n. Отримаємо

Але лінійне перетворення С , яке переводить ортонормований базис в ортонормований, є ортогональним (див. розділ 9, §2,в). Отже, С – ортогональна матриця.▲

Нехай тепер в евклідовому просторі V вибраний ортонормований базис e₁, e₂,…, e_n і нехай дана білінійна функція А(х, у), яка в цьому базисі подається білінійною формою

А(х, у)

де . Розглянемо лінійне перетворення А з тією ж матрицею А в тому ж базисі e₁, e₂,…, e_n. При переході до нового базису e₁’,e₂’,…,e_n’ з матрицею переходу С матриця А білінійної форми перейде в

В=,

a матриця лінійного перетворення А перейде в , тобто взагалі ці матриці перетворюються неоднаково. Однак, якщо новий базис e₁’, e₂’,…, e_n’ - теж ортонормований, то матриця переходу С ортогональна, і . В цьому випадку матриця білінійної форми А(х, у) і матриця лінійного перетворення А змінюється однаково. Таким чином, в евклідовому просторі кожній білінійній функції відповідає цілком визначене лінійне перетворення (яке має ту саму матрицю в довільному ортонормованому базисі).

Якщо А(х, у) – симетрична білінійна функція, то відповідне лінійне перетворення А буде самоспряженим. Але матриця самоспряженого перетворення в деякому ортонормованому базисі має діагональний вигляд:

.

В цьому ж базисі білінійна форма А(х, у) зведеться до вигляду

,

а відповідна квадратична форма А(х, х) зведеться до суми квадратів:

,

тут – власні значення лінійного перетворення А.

Приклад. З допомогою ортогонального перетворення звести квадратичну форму в евклідовому просторі до суми квадратів.

Розв’язання.Запишемо характеристичний многочлен матриці цієї форми .

Його корені: .

В новому базисі (який складається із власних векторів, що відповідають власним значення і )

А(х, х) =.

Спосіб відшукання власного базису вже розглядався.

Читайте також:

1. А/. Форми здійснення народовладдя та види виборчих систем.
2. Автоматизовані форми та системи обліку.
3. Аграрні реформи та розвиток сільського госпо- дарства в 60-х роках XIX ст. — на початку XX ст.
4. Акредитив та його форми
5. Активні форми участі територіальної громади у вирішенні питань ММС
6. Анатомія параректальних просторів
7. Банківський контроль та нагляд: форми та мета здійснення. Пруденційний нагляд: поняття, органи та мета проведення.
8. Батьки мають право обирати форми та методи виховання, крім тих, які суперечать закону, моральним засадам суспільства.
9. Безособові дієслівні форми на –но, -то
10. Безробіття: суть, причини, форми та соціально-економічні наслідки
11. Бланки, форми і штампи

Переглядів: 1933