Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі

Теорема. Матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого ортонормованого базису є ортогональною.

Доведення. Нехай e₁, e₂,…, e_n та e₁’, e₂’,…, e_n’ - два ортонормовані базиси в евклідовому просторі V і С– матриця переходу. Тоді

Розглянемо лінійне перетворення С з матрицею С в базисі e₁, e₂,…, e_n. Отримаємо

Але лінійне перетворення С , яке переводить ортонормований базис в ортонормований, є ортогональним (див. розділ 9, §2,в). Отже, С – ортогональна матриця.▲

Нехай тепер в евклідовому просторі V вибраний ортонормований базис e₁, e₂,…, e_n і нехай дана білінійна функція А(х, у), яка в цьому базисі подається білінійною формою

А(х, у)

де . Розглянемо лінійне перетворення А з тією ж матрицею А в тому ж базисі e₁, e₂,…, e_n. При переході до нового базису e₁’,e₂’,…,e_n’ з матрицею переходу С матриця А білінійної форми перейде в

В=,

a матриця лінійного перетворення А перейде в , тобто взагалі ці матриці перетворюються неоднаково. Однак, якщо новий базис e₁’, e₂’,…, e_n’ - теж ортонормований, то матриця переходу С ортогональна, і . В цьому випадку матриця білінійної форми А(х, у) і матриця лінійного перетворення А змінюється однаково. Таким чином, в евклідовому просторі кожній білінійній функції відповідає цілком визначене лінійне перетворення (яке має ту саму матрицю в довільному ортонормованому базисі).

Якщо А(х, у) – симетрична білінійна функція, то відповідне лінійне перетворення А буде самоспряженим. Але матриця самоспряженого перетворення в деякому ортонормованому базисі має діагональний вигляд:

В цьому ж базисі білінійна форма А(х, у) зведеться до вигляду

а відповідна квадратична форма А(х, х) зведеться до суми квадратів:

тут – власні значення лінійного перетворення А.

Приклад. З допомогою ортогонального перетворення звести квадратичну форму в евклідовому просторі до суми квадратів.

Розв’язання.Запишемо характеристичний многочлен матриці цієї форми .

Його корені: .

В новому базисі (який складається із власних векторів, що відповідають власним значення і )

А(х, х) =.

Спосіб відшукання власного базису вже розглядався.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Класифікація квадратичних форм	\|	Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.