МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Зведення рівняння другого порядку до канонічного виглядуОдним із важливих і цікавих застосувань теорії квадратичних форм є задача спрощення рівняння кривих і поверхонь другого порядку. По суті, ця задача належить до числа тих, які і визначили постановку основних питань теорії квадратичних форм. Для прикладу коротко розглянемо зведення до канонічного вигляду загального рівняння поверхні другого порядку у тривимірному просторі: . (1) Розглянемо спочатку суму членів другого степеня в лівій частині рівняння. Легко помітити, що це є квадратична форма з симетричною матрицею A = . Відомо, що існує ортогональне перетворення простору з матрицею С, яке переводить дану квадратичну форму до суми квадратів , де – характеристичні корені матриці А, - прообрази вектора при цьому перетворенні. Після цього ортогонального перетворення рівняння (1) матиме вигляд . (2) Принаймні одне із чисел відмінне від нуля, бо інакше матриця була б нульовою, і задане рівняння (1) було б лінійним. Припустимо, що . Тоді можна позбутися члена з у рівнянні (2) за допомогою наступного перетворення координат: (*) Дійсно, підставивши ці вирази до (2), отримаємо рівняння . (3) Якщо також і, то, двічі виконуючи перетворення, аналогічні останньому, отримаємо рівняння вигляду . (4) Рівняння (4) називається канонічнимрівнянням центральної поверхні другого порядку. Тип поверхні та її властивості залежать від значення коефіцієнтів. Якщо =0, то маємо рівняння конуса , який у випадку вироджується в точку . При рівнянню (4) можна надати форму , де . Ясно, що . Якщо всі коефіцієнти – додатні, то поверхню називаютьеліпсоїдом,якщо два додатні –однопорожнинним гіперболоїдом,якщо один додатний - двопорожнинним гіперболоїдом. Отже, у випадку, коли всі характеристичні корені матриці відмінні від нуля (або ранг квадратичної форми рівний 3), завжди можна звести загальне рівняння (1) до канонічного рівняння (4) центральної поверхні другого порядку. До такої ж форми можна звести рівняння (1) в окремих випадках і тоді, коли один чи два характеристичні корені матриці дорівнюють нулю. Так, рівняння (3) прийме форму (4), якщо одночасно з виявиться , а одночасно з буде . В цих “вироджених” випадках дістаємо рівняння циліндричнихповерхонь. Отже, в зазначених випадках отримуються рівняння вигляду (3), в якому число квадратів рівне рангу матриці . Відповідні поверхні називають центральнимив зв’язку з тим, що для них існує центр симетрії. Справді, рівняння (3) не змінюється при перетворенні симетрії відносно точки . Залишається розглянути випадки, коли одне з чисел або обидва дорівнюють нулю, а відповідні коефіцієнти відмінні від нуля. Нехай спочатку . Тоді рівняння (3) можна звести перетворенням типу (*) до вигляду: . Далі, виконаємо перетворення і отримаємо рівняння , (5) або , . Це рівняння еліптичного(при чи гіперболічного(при ) параболоїда.Подібний результатдістаємо при. Нехай, нарешті, , але хоч одне з чисел відмінне від нуля. Рівняння (3) набуде вигляду: . Читайте також:
|
||||||||
|