• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду

Одним із важливих і цікавих застосувань теорії квадратичних форм є задача спрощення рівняння кривих і поверхонь другого порядку. По суті, ця задача належить до числа тих, які і визначили постановку основних питань теорії квадратичних форм.

Для прикладу коротко розглянемо зведення до канонічного вигляду загального рівняння поверхні другого порядку у тривимірному просторі:

. (1)

Розглянемо спочатку суму членів другого степеня в лівій частині рівняння. Легко помітити, що це є квадратична форма з симетричною матрицею

A = .

Відомо, що існує ортогональне перетворення простору з матрицею С, яке переводить дану квадратичну форму до суми квадратів

,

де – характеристичні корені матриці А, - прообрази вектора при цьому перетворенні.

Після цього ортогонального перетворення рівняння (1) матиме вигляд

. (2)

Принаймні одне із чисел відмінне від нуля, бо інакше матриця

була б нульовою, і задане рівняння (1) було б лінійним. Припустимо, що . Тоді можна позбутися члена з у рівнянні (2) за допомогою наступного перетворення координат:

(*)

Дійсно, підставивши ці вирази до (2), отримаємо рівняння

. (3)

Якщо також і, то, двічі виконуючи перетворення, аналогічні останньому, отримаємо рівняння вигляду

. (4)

Рівняння (4) називається канонічнимрівнянням центральної поверхні другого порядку. Тип поверхні та її властивості залежать від значення коефіцієнтів.

Якщо =0, то маємо рівняння конуса

,

який у випадку вироджується в точку .

При рівнянню (4) можна надати форму

,

де . Ясно, що .

Якщо всі коефіцієнти – додатні, то поверхню називаютьеліпсоїдом,якщо два додатні –однопорожнинним гіперболоїдом,якщо один додатний - двопорожнинним гіперболоїдом.

Отже, у випадку, коли всі характеристичні корені матриці відмінні від нуля (або ранг квадратичної форми рівний 3), завжди можна звести загальне рівняння (1) до канонічного рівняння (4) центральної поверхні другого порядку.

До такої ж форми можна звести рівняння (1) в окремих випадках і тоді, коли один чи два характеристичні корені матриці дорівнюють нулю. Так, рівняння (3) прийме форму (4), якщо одночасно з виявиться , а одночасно з буде . В цих “вироджених” випадках дістаємо рівняння циліндричнихповерхонь.

Отже, в зазначених випадках отримуються рівняння вигляду (3), в якому число квадратів рівне рангу матриці . Відповідні поверхні називають центральнимив зв’язку з тим, що для них існує центр симетрії. Справді, рівняння (3) не змінюється при перетворенні симетрії відносно точки .

Залишається розглянути випадки, коли одне з чисел або обидва дорівнюють нулю, а відповідні коефіцієнти відмінні від нуля.

Нехай спочатку . Тоді рівняння (3) можна звести перетворенням типу (*) до вигляду:

.

Далі, виконаємо перетворення

і отримаємо рівняння

, (5)

або , .

Це рівняння еліптичного(при чи гіперболічного(при ) параболоїда.Подібний результатдістаємо при.

Нехай, нарешті, , але хоч одне з чисел відмінне від нуля. Рівняння (3) набуде вигляду:

.

Читайте також:

1. RLC-фільтр четвертого порядку
2. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
3. Асимптотичний підхід до порівняння оцінок
4. Аспекти організаційного порядку
5. Афінний шифр k-ro порядку.
6. Бінарне відношення порядку.
7. Бюджетний контроль - це порівняння показників бюджету зі звітом за від­повідний період часу.
8. В обох випадках основним розрахунковим рівнянням є рівняння теплопередачі і теплового балансу
9. Варіантне проектування технології зведення будівель та споруд.
10. Вестфальский мир як основа європейського правопорядку 1648-1815 рр.
11. Вивід основного рівняння фільтрації
12. Визначення порядку черги фаз трифазної системи

Переглядів: 4551