Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду

Одним із важливих і цікавих застосувань теорії квадратичних форм є задача спрощення рівняння кривих і поверхонь другого порядку. По суті, ця задача належить до числа тих, які і визначили постановку основних питань теорії квадратичних форм.

Для прикладу коротко розглянемо зведення до канонічного вигляду загального рівняння поверхні другого порядку у тривимірному просторі:

. (1)

Розглянемо спочатку суму членів другого степеня в лівій частині рівняння. Легко помітити, що це є квадратична форма з симетричною матрицею

A = .

Відомо, що існує ортогональне перетворення простору з матрицею С, яке переводить дану квадратичну форму до суми квадратів

,

де – характеристичні корені матриці А, - прообрази вектора при цьому перетворенні.

Після цього ортогонального перетворення рівняння (1) матиме вигляд

. (2)

Принаймні одне із чисел відмінне від нуля, бо інакше матриця

була б нульовою, і задане рівняння (1) було б лінійним. Припустимо, що . Тоді можна позбутися члена з у рівнянні (2) за допомогою наступного перетворення координат:

(*)

Дійсно, підставивши ці вирази до (2), отримаємо рівняння

. (3)

Якщо також і, то, двічі виконуючи перетворення, аналогічні останньому, отримаємо рівняння вигляду

. (4)

Рівняння (4) називається канонічнимрівнянням центральної поверхні другого порядку. Тип поверхні та її властивості залежать від значення коефіцієнтів.

Якщо =0, то маємо рівняння конуса

,

який у випадку вироджується в точку .

При рівнянню (4) можна надати форму

,

де . Ясно, що .

Якщо всі коефіцієнти – додатні, то поверхню називаютьеліпсоїдом,якщо два додатні –однопорожнинним гіперболоїдом,якщо один додатний - двопорожнинним гіперболоїдом.

Отже, у випадку, коли всі характеристичні корені матриці відмінні від нуля (або ранг квадратичної форми рівний 3), завжди можна звести загальне рівняння (1) до канонічного рівняння (4) центральної поверхні другого порядку.

До такої ж форми можна звести рівняння (1) в окремих випадках і тоді, коли один чи два характеристичні корені матриці дорівнюють нулю. Так, рівняння (3) прийме форму (4), якщо одночасно з виявиться , а одночасно з буде . В цих “вироджених” випадках дістаємо рівняння циліндричнихповерхонь.

Отже, в зазначених випадках отримуються рівняння вигляду (3), в якому число квадратів рівне рангу матриці . Відповідні поверхні називають центральнимив зв’язку з тим, що для них існує центр симетрії. Справді, рівняння (3) не змінюється при перетворенні симетрії відносно точки .

Залишається розглянути випадки, коли одне з чисел або обидва дорівнюють нулю, а відповідні коефіцієнти відмінні від нуля.

Нехай спочатку . Тоді рівняння (3) можна звести перетворенням типу (*) до вигляду:

.

Далі, виконаємо перетворення

і отримаємо рівняння

, (5)

або , .

Це рівняння еліптичного(при чи гіперболічного(при ) параболоїда.Подібний результатдістаємо при.

Нехай, нарешті, , але хоч одне з чисел відмінне від нуля. Рівняння (3) набуде вигляду:

.


Читайте також:

  1. RLC-фільтр четвертого порядку
  2. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
  3. Асимптотичний підхід до порівняння оцінок
  4. Аспекти організаційного порядку
  5. Афінний шифр k-ro порядку.
  6. Бінарне відношення порядку.
  7. Бюджетний контроль - це порівняння показників бюджету зі звітом за від­повідний період часу.
  8. В обох випадках основним розрахунковим рівнянням є рівняння теплопередачі і теплового балансу
  9. Варіантне проектування технології зведення будівель та споруд.
  10. Вестфальский мир як основа європейського правопорядку 1648-1815 рр.
  11. Вивід основного рівняння фільтрації
  12. Визначення порядку черги фаз трифазної системи




Переглядів: 4365

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі | Виконаємо лінійне перетворення

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.006 сек.