• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Класифікація квадратичних форм

Квадратична форма називається додатньо (від’ємно) визначеною, якщо для А(x, x) (А(x, x)) і додатньо (від’ємно) напіввизначеною (квазівизначеною), якщо А(x, x) (А(x, x) ).

Приклад.

Скалярний квадрат А(x, x) = (х,х) є додатньо визначеною квадратичною формою.

Ясно, що додатньо визначена квадратична форма зводиться до суми квадратів з додатніми канонічними коефіцієнтами, додатньо напіввизначена форма – з невід’ємними коефіцієнтами (деякі з них можуть дорівнювати нулю).

Теорема(критерій Сильвестра).

Для того, щоб квадратична форма А(x, x) була додатньо визначеною, необхідно і достатньо, щоб всі кутові мінори матриці А=[a_ij] були додатніми.

Для того ж, щоб квадратична форма була від’ємно визначеною, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувались, причому .

Доведення..

а)Необхідність. Покажемо спочатку, що із умови знаковизначеності квадратичної форми А(x, x) випливає , і=1, 2,..., n.

Переконаємось, що припущення веде до протиріччя – при цьому припущенні існує ненульовий вектор х, для якого А(x, x), що суперечить знаковизноченості форми.

Нехай . Розглянемо наступну квадратну однорідну систему лінійних рівнянь:

.

Оскільки - визначник цієї системи, і =0, то записана система рівнянь має ненульові розв’язки (не всі хрівні нулю).Помножимо перше із рівнянь системи на , друге на , ..., останнє на і додамо отримані співвідношення. В результаті дістанемо рівність , ліва частина якої є значенням квадратичної форми А(x, x) для ненульового вектора х з координатами . Це значення рівне нулю, що суперечить знаковизначеності форми. Отже, , і=1,2,...,n.

Застосуємо метод Якобі зведення форми А(x, x) до суми квадратів. Якщо А(x, x) –додатньо визначена форма, то із формул для знаходження канонічних коефіцієнтів отримаємо ...,. Якщо ж А(x, x)– від’ємно визначена форма, то з тих же формул випливає, що знаки кутових мінорів чергуються, причому.

б) Достатність. Згідно умови теореми всі , і=1,2,...,n, тому, скориставшись методом Якобі, отримаємо у першому випадку додатньо, а в другому – від’ємно визначену квадратичну форму.

Читайте також:

1. II. Класифікація видатків та кредитування бюджету.
2. V. Класифікація і внесення поправок
3. V. Класифікація рахунків
4. А. Структурно-функціональна класифікація нирок залежно від ступеню злиття окремих нирочок у компактний орган.
5. Адміністративні провадження: поняття, класифікація, стадії
6. Аналітичні процедури внутрішнього аудиту та їх класифікація.
7. Банківська платіжна картка як засіб розрахунків. Класифікація платіжних карток
8. Банківський кредит та його класифікація.
9. Банківські ресурси, їх види та класифікація
10. Будівельна класифікація ґрунтів
11. Будівельні домкрати, їх призначення, класифікація та конструкція.
12. Будівельні лебідки, їх призначення, класифікація та конструкція.

Переглядів: 1589