Закон інерції квадратичних форм

При зведенні квадратичної форми А(x, x) до суми квадратів різними способами можна отримати різні канонічні коефіцієнти . Однак має місце наступне твердження :

Теорема(закон інерції квадратичних форм).

Кількість доданків з додатніми (від’ємними) канонічними коефіцієнтами в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від способу зведення форми до цього вигляду.

Доведення(від супротивного).

Припустимо , що в базисі e=(e₁, e₂,…, e_n) квадратична форма А(x, x) має вигляд

А(x, x) , (*)

де – координати вектора x в цьому базисі, і нехай в іншому базисі e₁^’, e₂^’,…, e_n^’

А(x, x) , (**)

де – координати вектора x в новому базисі. Припустимо, що, наприклад, p>k.

Розглянемо в просторі V підпростір , породжений векторами e₁, e₂,…, e_n, і підпростір , породжений векторами . Оскільки сума їх розмірностей p+(n-k) більша за n, то їх перетин має ненульову розмірність, тобто існує вектор , який належить . Цей вектор можна подати як у вигляді

так і у вигляді

Для вектора х за формулою (*)

А(x, x) ,

оскільки хоча б одне із .

В той же час для вектора х за формулою (**)

А(x, x) .

Ми отримали протиріччя, із якого випливає, що pk. Аналогічно доводиться: неможливість нерівності p<k. Значить, p=k. Так само доводиться, що q=m.

Ясно, що сума p+ q дорівнює рангу r квадратичної форми.

Приклад. Дослідити знаковизначеність квадратичної форми

Розв’язання. Запишемо матрицю цієї форми

Обчислимо кутові мінори:

отже, задана квадратична форма додатньовизначена.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Доведення.	\|	Класифікація квадратичних форм

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.