При зведенні квадратичної форми А(x, x) до суми квадратів різними способами можна отримати різні канонічні коефіцієнти . Однак має місце наступне твердження :
Теорема(закон інерції квадратичних форм).
Кількість доданків з додатніми (від’ємними) канонічними коефіцієнтами в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від способу зведення форми до цього вигляду.
Доведення(від супротивного).
Припустимо , що в базисі e=(e1, e2,…, en) квадратична форма А(x, x) має вигляд
А(x, x) , (*)
де – координати вектора x в цьому базисі, і нехай в іншому базисі e1’, e2’,…, en’
А(x, x) , (**)
де – координати вектора x в новому базисі. Припустимо, що, наприклад, p>k.
Розглянемо в просторі V підпростір , породжений векторами e1, e2,…, en, і підпростір , породжений векторами . Оскільки сума їх розмірностей p+(n-k) більша за n, то їх перетин має ненульову розмірність, тобто існує вектор , який належить . Цей вектор можна подати як у вигляді
,
так і у вигляді
.
Для вектора х за формулою (*)
А(x, x) ,
оскільки хоча б одне із .
В той же час для вектора х за формулою (**)
А(x, x) .
Ми отримали протиріччя, із якого випливає, що pk. Аналогічно доводиться: неможливість нерівності p<k. Значить, p=k. Так само доводиться, що q=m.
Ясно, що сума p+ q дорівнює рангу r квадратичної форми.
Приклад. Дослідити знаковизначеність квадратичної форми