• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Закон інерції квадратичних форм

При зведенні квадратичної форми А(x, x) до суми квадратів різними способами можна отримати різні канонічні коефіцієнти . Однак має місце наступне твердження :

Теорема(закон інерції квадратичних форм).

Кількість доданків з додатніми (від’ємними) канонічними коефіцієнтами в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від способу зведення форми до цього вигляду.

Доведення(від супротивного).

Припустимо , що в базисі e=(e₁, e₂,…, e_n) квадратична форма А(x, x) має вигляд

А(x, x) , (*)

де – координати вектора x в цьому базисі, і нехай в іншому базисі e₁^’, e₂^’,…, e_n^’

А(x, x) , (**)

де – координати вектора x в новому базисі. Припустимо, що, наприклад, p>k.

Розглянемо в просторі V підпростір , породжений векторами e₁, e₂,…, e_n, і підпростір , породжений векторами . Оскільки сума їх розмірностей p+(n-k) більша за n, то їх перетин має ненульову розмірність, тобто існує вектор , який належить . Цей вектор можна подати як у вигляді

,

так і у вигляді

.

Для вектора х за формулою (*)

А(x, x) ,

оскільки хоча б одне із .

В той же час для вектора х за формулою (**)

А(x, x) .

Ми отримали протиріччя, із якого випливає, що pk. Аналогічно доводиться: неможливість нерівності p<k. Значить, p=k. Так само доводиться, що q=m.

Ясно, що сума p+ q дорівнює рангу r квадратичної форми.

Приклад. Дослідити знаковизначеність квадратичної форми

.

Розв’язання. Запишемо матрицю цієї форми

.

Обчислимо кутові мінори:

,

отже, задана квадратична форма додатньовизначена.

Читайте також:

1. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
2. IV. Закони ідеальних газів.
3. IV. Закономірності структурно-функціональної організації спинного мозку
4. Авілум – “син чоловіка” – повноправна людина, охороні його життя, здоров’я, захисту його майнових інтересів присвячена значна частина законника.
5. Аграрне право та законодавство США, Німеччини, Франції, Великої Британії, Ізраїлю, Польщі, Росії
6. Аграрні закони України
7. Адаптація законодавства України до законодавства ЄС - один із важливих інструментів створення в Україні нової правової системи та громадянського суспільства
8. Адаптація законодавства України до законодавства ЄС - один із важливих інструментів створення в Україні нової правової системи та громадянського суспільства
9. Адміністративна відповідальність за порушення аграрного законодавства
10. Адміністративна відповідальність за порушення земельного законодавства
11. Адміністративна відповідальність за порушення податкового законодавства.
12. Адміністративна відповідальність осіб, винних в порушенні податкового законодавства

Переглядів: 987