Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Зв'язок невизначеного і визначеного інтегралів. Формула Ньютона-Лейбніца.

 

Одним з важливих моментів цього розділу є знаходження зв’язку між визначеним і невизначеним інтегралами.

Невизначений інтеграл f ( x )dx - це функція, а визначений інте-

 

b

грал f ( x )dx - число. Який між ними зв’язок? Якщо величину b

a

 

х

замінити змінною x і розглянути f ( t )dt = Ф(х) , як функцію ,

 

а

 

то для цього інтеграла виконується теорема, про властивість визна ченого інтеграла із змінною верхньою межею.

 

ТЕОРЕМА 15. Якщо функція f ( x ) неперервна на[a ,b],

 

x

то похідна визначеного інтегралаf ( t )dt з змінною верхньою

a

 

межею х по цій межі дорівнює значенню підінтегральної

 

x

функції при t=x , тобто (f ( t )dt)'=f ( x ).(6.39)

a

 

Доведення.Розглянмо


 

у А В  
   


x

y=f(x) функцію Ф(х) = f ( t )dt ,

a


 

Ф

 

С

 

0 а х

 

Мал. 4

 

СВВ1С1.АлеФ( х+


В1

 

Ф

 

С1

 

х+ х

 

х ) =аx+ x


 

де f(t) –неперервна на [a,b] функція. Доведемо, що Ф(х) має

похідну Ф′( х ) = f ( x ). Задамо

 

  змінній х приріст х. Тоді Ф(х)  
х буде мати приріст  
Ф = Ф( х + х ) Ф( х ) ,  

 

який на малюнку 4 зображається площею криволінійної трапеції

x

f ( t )dt ,Φ( х )= f ( t )dt .

a


 

x + xx

Тому ΔΦ = f ( t )dt f ( t )dt .

aa


 

 


х+ х x x+ x

На основі теореми (11) одержимо f ( t )dt = f ( t )dt + f ( t )dt .

aax

x + x

Значить ΔΦ = f ( t )dt . Застосовуючи теорему (14), знаходимо

x

 

x + x

ΔΦ= f ( t )dt =[( x + x ) x] f ( c ) = x f ( c ),

x

де x < c < x+ x . Звідси випливає що ΔΦ = f ( c ) . (6.40)

x

 

Спрямуємо х до нуля. Тоді + х) буде прямувати до х, а зна-

 

чить і с прямуватиме до х. Внаслідок неперервності f(x), одержимо

lim f ( c ) = lim f ( c ) = f ( x ) .              
x →0   c→ x              
Переходячи   до границі в   рівності (6.40), одержимо  
lim ΔΦ= lim f ( c ) = f ( x ) .Тобто Ф( x ) = f ( x ).  
x →0 x x →0              
              x    
    x       d[ f ( t )dt]    
Але Ф(х) = f ( t )dt , а тому = a   = f ( x ).  
dx dx  
    a        
                   
  Проте, базовою при обчисленні визначеного інтеграла, є на-  
ступна теорема.              
  ТЕОРЕМА 16.(Ньютона-Лейбніца).Визначений інтеграл  

від неперервної функції f ( x ) дорівнює різниці значень її перві-сної F ( x ) при x=b і , x=a де a і b -нижня і верхня межі інте-

 




Переглядів: 1765

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Геометричний зміст визначеного інтеграла. | Грування, тобто має місце формула

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.004 сек.