• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Зв'язок невизначеного і визначеного інтегралів. Формула Ньютона-Лейбніца.

Одним з важливих моментів цього розділу є знаходження зв’язку між визначеним і невизначеним інтегралами.

Невизначений інтеграл _∫ f ( x )dx - це функція, а визначений інте-

b

грал _∫ f ( x )dx - число. Який між ними зв’язок? Якщо величину b –

a

х

замінити змінною x і розглянути _∫ f ( t )dt = Ф(х) , як функцію ,

а

то для цього інтеграла виконується теорема, про властивість визна ченого інтеграла із змінною верхньою межею.

ТЕОРЕМА 15. Якщо функція f ( x ) неперервна на[a ,b],

x

то похідна визначеного інтеграла_∫f ( t )dt з змінною верхньою

a

межею х по цій межі дорівнює значенню підінтегральної

x

функції при t=x , тобто (_∫f ( t )dt)'=f ( x ).(6.39)

a

Доведення.Розглянмо

x

_y=f(x) функцію Ф(х) = _∫ f ( t )dt ,

a

Ф

С

0 а х

Мал. 4

СВВ₁С₁.АлеФ( х+

В₁

Ф

С₁

х+ х

х ) =_∫а^{x+ x}

де f(t) –неперервна на [a,b] функція. Доведемо, що Ф(х) має

похідну Ф′( х ) = f ( x ). Задамо

який на малюнку 4 зображається площею криволінійної трапеції

x

f ( t )dt ,Φ( х )=_∫ f ( t )dt .

a

x + xx

Тому ΔΦ = _∫ f ( t )dt − _∫ f ( t )dt .

aa

х+ х x x+ x

На основі теореми (11) одержимо _∫ f ( t )dt = _∫ f ( t )dt + _∫ f ( t )dt .

aax

x + x

Значить ΔΦ = _∫ f ( t )dt . Застосовуючи теорему (14), знаходимо

x

x + x

ΔΦ=_∫ f ( t )dt =[( x + x ) − x]⋅ f ( c ) = x ⋅ f ( c ),

x

де x < c < x+ x . Звідси випливає що ^ΔΦ = f ( c ) . (6.40)

x

Спрямуємо х до нуля. Тоді (х + х) буде прямувати до х, а зна-

чить і с прямуватиме до х. Внаслідок неперервності f(x), одержимо

від неперервної функції f ( x ) дорівнює різниці значень її перві-сної F ( x ) при x=b і , x=a де a і b -нижня і верхня межі інте-

Переглядів: 1773