• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Гамма-функція

Біноміальна теорема визначає біноміальні коефіцієнти через факторіали чисел n і k:

.

По суті, факторіал є|з'являється,являється| функцією аргументу n. Проте|однак| це дискретна (гратчаста) функція, визначена тільки|лише| при цілих значеннях аргументу n = 1, 2, ... Тому формула (4.2) придатна тільки|лише| для цілих n.

Виникає питання: чи існує безперервна функція безперервного аргументу, яка в окремих випадках цілого аргументу n = n дорівнювала|рівнялася| б ? На це питання існує позитивна відповідь. Така функція існує і називається вона гамма-функцією (Г-функцією). Ця функція володіє властивістю: . Її графік приведений на мал. 4.3.

Мал. 4.3. Графік гамма-функції

Гамма-функція визначається за допомогою інтеграла Ейлера:

,

де n > 0.

При£ n £ 0 інтеграл розходиться. У цьому інтервалі за допомогою інтеграла Ейлера гамма-функція не може бути визначена. При n = 1 маємо:

.

Прийнявши в інтегралі Ейлера x = t², одержимо|отримаємо|

.

Прирівнявши n = 1/2, маємо

.

Застосуємо до інтеграла Ейлера формулу інтегрування по частинах|частках|:, вважаючи|гадаючи| ; ; ; .

.

Це основна формула приведення для Г-функції. З|із| неї виходить, що

.

Застосував цю формулу послідовно k разів, одержимо:

, (n – k > 0).

У математичних| довідниках значення гамма-функції звичайно даються лише для величин v, лежачих в діапазоні 1 < n < 2. щоб знайти значення Г-функції в іншому діапазоні, потрібно використовувати приведену формулу. Для знаходження Г(n) при n > 2 ми повинні вибирати ціле k > 0 так, щоб|так , щоб,таким образом | виконувалося умови: 1 £ n – k < 2.

Якщо n = n, де n > 0 – ціле число, то

Г (n) = (n – 1)!

Застосувавши формулу приведення для n = n + 1/2 і враховуючи, що, одержимо|отримаємо|

,

де (2n – 1)!! = .

Дотепер|до цих пір| ми вважали|лічили|, що аргумент n функції Г(n) більше нуля. Довизначимо тепер функцію гамма для негативних|заперечних| значень аргументу. Враховуючи формулу приведення, запишемо:

.

Покладемо = n^*, тоді

.

Позначивши в останній формулі n^* знову через, одержимо|отримаємо|

.

Якщо n + до > 0 і . (= 1, 2, 3...), то права частина|частка| формули має сенс і при n < 0. Останню формулу приймають за визначення гамма-функції при негативних|заперечних| значеннях аргументу n. Очевидно, вона не існують при цілих негативних|заперечних| значеннях n (при таких значеннях n вона звертається|обертається| в нескінченність).

Тепер ми можемо узагальнити біноміальну теорему на випадок дійсних (і навіть комплексних чисел).

Теорема 4.2. Хай|нехай| – довільне комплексне число. Тоді для будь-якого комплексного числа, що задовольняє умові, справедливо

(4.3)

де .

Приклад|зразок| 4.1. Приведемо приклади|зразки| деяких біноміальних розкладань, одержаних за допомогою формули (4.3):

Переглядів: 1900