У багатьох практичних випадках виникає необхідність підрахувати|підсумувати| кількість можливих комбінацій об'єктів, що задовольняють певним умовам. Такі завдання|задачі| називаються комбінаторними. Розділ математики, який їх вивчає, називається комбінаторикою.
Одними з найбільш важливих|поважних| понять комбінаторики є|з'являються,являються| розміщення і поєднання.
Спосіб розташування в певному порядку|ладі| деякого числа елементів із|із| заданої множини|безлічі|, коли істотна|суттєва| послідовність вибору елементів, називається розміщенням. Якщо ж послідовність вибору елементів неістотна|несуттєва|, то спосіб вибору називається поєднанням.
Приклад|зразок| 5.1. Дано безліч S, що складається з трьох елементів: а, b, с. Необхідно визначити кількість комбінацій по два елементи з|із| представлених|уявлених| трьох.
1. Повторення елементів не допускається:
а) існує 6 розміщень (ab, ас, ba, bc, ca, cb);
б) існує 3 поєднання (ab, bc, ca).
2. Повторення елементів вирішується:
а) існує 9 розміщень (ab, aa, ас, ba, bb, bc, ca, cb, cc);
б) існує 6 поєднань (aa, ab, ас, bb, bc, cc).
Загальне|спільне| число розміщень без повторень з|із| n елементів по елементів позначається|значиться| так: .
Теорема 5.1.
. (5.1)
Доказ. Завдання|задача| зводиться до заповнення порожніх|пустих| місць символами елементів (мал. 5.1).
Мал. 5.1
Перше місце можна заповнити n різними способами, оскільки є|наявний| n елементів, і повторення не допускаються. Друге місце n – 1 способом, оскільки один елемент вже задіяний. Третє місце n – 2 способами, оскільки два елементи вже задіяні і т.д. Останнє -те| місце можна заповнити різними способами. Загальна|спільна| кількість розміщень буде рівна добичі|добутку| способів заповнення кожного з порожніх|пустих| місць.
Слідство|наслідок|. При n =
Розміщення (при n = ) називається перестановкою.
Приклад|зразок| 5.2. Якщо дано множину|безліч|, що складається з трьох елементів: а, b і с|із|, та кількість розміщень по два елементи рівна, що відповідає результату, приведеному в прикладі|зразку| 5.1.