Якщо , матриця не містить сідловкої точки. Застосування мінімаксних стратегій забезпечить виграш не менше і програш не більше відповідно. У цьому випадку говорять про розв’язок гри в змішаних стратегіях: кожний із гравців буде застосовувати кілька стратегій при їхньому випадковому виборі.
Введемо в розгляд два вектори:
;
і - це ймовірності, з якими кожен гравець застосовує свої первісні, чисті стратегії.
Виграш при використанні змішаних стратегій визначається як математичне сподівання виграшу чи як середній виграш.
змінними є і .
Виконано рівність:
(11.5)
Теорема:
Кожна скінченна гра має, принаймні, один розв’язок, можливо, в області змішаних стратегій.
- оптимальні ймовірності стратегій
– значення гри чи ціна гри
.
Розглянемо найпростіший окремий випадок.
; .
3. Якщо сідлівкої точки немає, необхідно застосовувати змішані стратегії. Вводимо в розгляд два вектори ймовірностей.
;
(11.6)
Система лінійна, може бути вирішена будь-якими способами.