• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

ЛЕКЦІЯ 7

Спільна щільність ймовірності двох неперервних випадкових величин є така ненегативна функція, що добуток дорівнює ймовірності одночасного влучення в інтервал і в інтервал , тобто

.

Геометрично щільності відповідає деяка поверхня в тривимірному просторі.

.

Якщо трактувати добуток як елемент площі на площині змінних , , то щільність є кількість імовірності, що припадає на одиницю площі (рис. 6). Звідси, зокрема, слідує, що .

Рис.6. Пояснення переходу від системи двох неперервних випадкових величин до дискретних

Виконавши розбивку області змінних і розглядаючи неперервні величини як граничний випадок дискретних, можна одержати формули, аналогічні наведеним раніше. Наприклад,

. (18)

Ця формула є аналогом формули (13) і виражає властивість нормування спільної щільності ймовірності.

.

Наведені формули виражають властивість погодженості щільностей ймовірності, відповідно до якої щільності ймовірності й можна знайти, інтегруючи спільну щільність по «зайвій» змінній.

.

Ця формула випливає з формули (15). Умовна щільність ймовірності характеризує собою розподіл випадкової величини за умови, що деяке значення фіксоване. Її можна визначити як функцію й , що при множенні на дає умовну ймовірність попадання в інтервал за умови, що випадкова величина фіксована й дорівнює .

За аналогією з випадковими подіями, дві випадкові величини й називаються незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, яке значення прийняла інша. У противному випадку величини й називаються залежними.

Для неперервних випадкових величин умова незалежності від записується у вигляді

. (19)

По теоремі множення щільностей ймовірностей з (19) отримуємо необхідну й достатню умову незалежності випадкових величин, що входять у систему

. (20)

Приклад. Задана спільна щільність імовірності випадкових величин і . Потрібно встановити залежність (незалежність) випадкових величин і .

.

Розклавши знаменник на множники, маємо

,

де .

Тобто, відповідно до (20) випадкові величини і є незалежними.

Для довільного числа випадкових величин закон розподілу їхньої системи (вектора) також задається функцією розподілу або спільною щільністю ймовірності.

Функцією розподілу системи випадкових величин називається ймовірність спільного виконання нерівностей виду

.

Спільною щільністю ймовірності системи неперервних випадкових величин називається а змішана частинна похідна від функції , яка узята один раз по кожному з аргументів

.

Переглядів: 569