• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Функції розподілу й щільності ймовірності

Припустимо, що є велике число повністю ідентичних систем, що працюють одночасно й в однакових умовах. На виході цих систем спостерігається випадковий процес . Якщо до кожної системи підключити однакові прилади реєстації (наприклад, осцилографи) і на всіх приладах у тий самий час зафіксувати вихідні миттєві значення, то одержимо величин , що відрізняються одна від іншої.

Виділимо із загального числа N ті величин, значення яких у момент часу менше або дорівнюють заданому числу . При досить великому N відносна частка величин, що задовольняють цій умові, буде мати статистичну усталеність (групуватися біля деякого постійного числа) і може розглядатися як ймовірність того, що при випадкова функція не перевищує значення

. (1)

Функція називається одномірною функцією розподілу ймовірностей і описує значення випадкової функції в один, фіксований момент часу.

Похідна від функції розподілу ймовірностей

(2)

називається одномірною щільністю ймовірності випадкового процесу. Безрозмірна величина являє собою ймовірності того, що випадкова величина буде укладена а в інтервалі

. (3)

Одномірна щільність ймовірності й одномірна функція розподілу дають уявлення про процес лише в один, фіксований момент часу, не вказуючи, наприклад, як значення в момент часу впливають на подальше поводження процесу при . Одномірні ймовірнісні характеристики описують процес статично й не дають уявлення про динаміку його розвитку.

Більш повними характеристиками випадкового процесу є двовимірна функція розподілу ймовірностей і двовимірна щільність імовірності, які відображають ймовірнісний зв'язок між значеннями процесу у два моменти часу й .

Двовимірна функція розподілу ймовірностей і двовимірна щільність ймовірності визначаються аналогічно одномірним. Вернемося знову до N ідентичних систем. Зробимо реєстрацію вихідних значень процесу у два моменти часу й . Нехай отримані значення в ці два моменти часу

й .

Підрахуємо відносну частку значень , які в момент часу не перевищують величини й у момент часу не перевищують величини . Тоді для досить великого числа N функція

(4)

являє собою двовимірну функцію розподілу ймовірностей.

Похідна від цієї функції

(5)

називається двовимірною щільністю ймовірності.

Безрозмірна величина являє собою ймовірність спільного виконання двох нерівностей й , тобто

. (6)

В (6) права частина при великих N являє собою відносну частку значень , які в момент часу попадають в інтервал і в момент часу в інтервал .

Двовимірні функція розподілу й щільність ймовірності часто використовуються в практичних розрахунках, однак вони також не забезпечують вичерпного опису випадкового процесу, оскільки дозволяють судити про зв'язок між ймовірними значеннями випадкового процесу лише у два моменти часу.

Повний опис випадкового процесу дається багатомірною щільністю ймовірності (функцію розподілу) ймовірності , яка визначає ймовірність того, що значення випадкового процесу в п моментів часу укладені у відповідних малих інтервалах . Ця ймовірність дорівнює

.

Щільність імовірності дозволяє судити про зв'язок між ймовірними значеннями процесу в п довільно взятих моментів часу.

Таким чином, випадковий процес у загальному випадку описується за допомогою п-мірної щільності ймовірності (функції розподілу) і тим детальніше, чим більше п. Два випадкових процеси, у яких всі кінцевомірні функції розподілу збігаються, називаються еквівалентними.

Функції розподілу ймовірностей і щільності ймовірності зв'язані однозначною залежністю:

,

,

де .

Тому для заданого n вони містять однакову інформацію про випадковий процес. При розгляді неперервних процесів оперують із щільностями ймовірності, які дають наочне уявлення про характер процесу. Щодо дискретних послідовностей, дискретних, неперервнозначних і змішаних процесів, щільності ймовірності яких мають розриви, необхідно переходити до функцій розподілу ймовірностей.

Щільності ймовірності випадкових процесів повинні задовольняти наступним чотирьом умовам:

1) умові від'ємності

; (7)

2) умові нормування

; (8)

3) умові симетрії, яка полягає в тому, що функції повинні бути симетричні щодо будь-яких перестановок всіх пар аргументів , оскільки ймовірність спільного здійснення п нерівностей не залежить від того, у якому порядку перелічувати ці нерівності;

4) умові узгодженості, що означає, що при будь-якому

.

З умови узгодженості витікає, що, якщо відома п-мірна щільність ймовірності , то шляхом інтегрування її по «зайвим» аргументах легко знаходяться усі щільності ймовірності меншої кратності. У цьому зв'язку можна відзначити, що вичерпним був би опис випадкового процесу однією щільністю ймовірності максимального порядку. Внаслідок неперервності аргументу , такого кінцевого максимального порядку в загальному випадку не існує. Відомі тільки два дуже важливих класи випадкових процесів, для яких всі п-мірні щільності ймовірності , , математично строго виражаються через двовимірні щільності ймовірності це нормальні процеси й марківські процеси.

Переглядів: 2084