Припустимо, що точка М рухається прямолінійно нерівномірно по деякій прямій лінії, яку візьмемо за вісь Ох (рис. 3).
Рис. 3
Рух точки відбувається за законом х = f (t), де х — шлях; t — час. Знайдемо швидкість точки М у даний момент часу t (миттєва швидкість).
Нехай точка М у момент t перебувала на відстані х від початкової точки М0, а в момент часу точка опинилася на відстані від початкової точки й зайняла положення М1. Отже, час t набув приросту , а шлях х — приросту . Середня швидкість руху точки М за час описується формулою .
Якщо точка М рухається рівномірно, то Vcр є величина стала, і її беруть за швидкість точки. Для нерівномірного руху точки очевидно, що для достатньо близьких значень до нуля середня швидкість точки М буде близька до її швидкості у момент часу t. Тому за точне значення швидкості точки М у момент часу t беруть величину
,
яка є швидкістю зміни функції х = f (t) у точці. У цьому полягає механічний зміст похідної.