• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Арифметичні теореми про похідну

Теорема 4.2. Якщо функції мають похідні в точці , то існує похідна суми цих функцій, яка дорівнює сумі похідних:

.

Доведення. Розглянемо функцію .

Знайдемо прирощення цієї функції в точці : . За означенням похідної:

.

Теорема 4.3. Якщо функції мають похідні в точці , то існує похідна їх добутку, яка дорівнює сумі добутків похідної першої функції на другу та похідній другої функції на першу:

.

Доведення. Розглянемо функцію . Знайдемо прирощення цієї функції в точці : . Додамо і віднімемо вираз , отримаємо: . За означенням похідної:

.

Функція має похідну в точці , отже, вона неперервна в цій точці, тому . Функція є сталою при , отже,

.

Аналогічно, другий доданок дорівнює . Остаточно, отримаємо:

Теорема 4.4. Похідна сталої величини дорівнює нулю:

.

Доведення. Розглянемо функцію . Її прирощення . Тоді:

.

Наслідок з теорем 4.3. та 4.4: Сталу величину можна виносити за знак похідної:

.

Теорема 4.5. Якщо функції мають похідні в точці і функція в деякому околі точки , то в цій точці існує похідна частки , яка дорівнює:

.

Доведення. Розглянемо функцію . Прирощення цієї функції дорівнює: . Віднімемо і додамо в чисельнику вираз , отримаємо: ,

Або . Границя відношення буде така: .

Теорема 4.6. Якщо функція строго монотонна в деякому околі точки і має в тій точці похідну, яка не дорівнює нулю, то існує обернена їй функція , яка визначена в деякому околі точки та її похідна дорівнює:

.

Теорема 4.7. Якщо функція має похідну в точці : , а функція має похідну в точці : , то складена функція має похідну в точці , яка дорівнює:

.

Вище були знайдені похідні сталої та функції . Доведемо формули обчислення похідних ще декількох елементарних функцій.

1. Логарифмічна функція: . Розглянемо довільну точку , яка належить області визначення функції. Задамо пророщення аргументу таке, що точка також належить області визначення. Прирощення функції має вигляд: . Тоді похідна в цій точці буде дорівнювати: . Помножимо і поділимо дріб на та скористаємося властивостями логарифма:

.

У процесі , величина є сталою і її можна винести за знак границі. Функція неперервна, отже, символи функції та границі комутативні, тому: .

Границя, яку нам треба обчислити, - друга важлива границя, отже, . Остаточно, отримаємо:

.

Тепер можна знайти похідну функції :

.

2. Показникова функція: . Прологарифмуємо обидві частини: , або , та знайдемо похідні лівої та правої частини, ураховуючи, що в лівій частині складена функція: , або . Звідси: , або .

3. Степенева функція . Прологарифмуємо обидві частини: та знайдемо похідні лівої та правої частин, ураховуючи, що в лівій частині складена функція: , або . Звідси: , або .

4. Тригонометричні функції: . Знайдемо прирощення функції :

та обчислимо границю відношення

.

Перший співмножник – перша важлива границя, яка дорівнює одиниці, а другий – границя неперервної функції, отже, вона дорівнює значенню функції в точці. Таким чином, .

Для знаходження похідної функції , скористаємося формулами зведення, за якими . Маємо:

.

Похідні функцій легко знайти, згадавши, що , і скориставшись формулою похідної дробу.

Наведемо формулювання ще двох теорем.

Теорема 4.8. (Теорема Лагранжа). Якщо функція визначена на відрізку і має похідну в інтервалі , то існує точка така, що

.

Геометрична ілюстрація теореми. Якщо з’єднати точки та відрізком, то існує точка , дотична в якій паралельна цьому відрізку.

Теорема 4.8. (Правило Лопіталя). Якщо при або функції та одночасно є нескінченно великими, або нескінченно малими, то границя відношення їх частки дорівнює границі відношення їх похідних:

і .

Ця теорема застосовується при розкритті деяких невизначеностей.

Приклад.

Таблиця похідних елементарних функцій

(В усіх формулах вважається, що функції є складеними, причому внутрішня функція має похідну в кожній точці деякого числового проміжку).

1.	6.
2.	7.
2а.	8.
3.	9.
3а.	10.
4.	11.
5.

Приклад. Знайти похідну функції: .

Переглядів: 2810