МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Розділ 8.2. Диференціальна функція розподілу та її властивості
Нехай випадкова величина – неперервна, тоді функція розподілу F(x) теж неперервна. Нехай в околі точки хфункціяF(x) є диференційованою. Означення: Диференціальною функцією розподілу f(x) називають першу похідну інтегральної функції F(x), тобто
. (8.5)
Властивість 1:Диференціальна функція є невід’ємною
.
Доведення
Ця властивість випливає із означення диференціальної функції як похідної від неспадної функції розподілу F(x). Геометрично це означає, що графік диференціальної функції розміщений або над віссю абсцис, або збігається з нею. Графік диференціальної функції називається кривою розподілу.
Властивість 2: Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме значення з інтервалу дорівнює визначеному інтегралу від диференціальної функції, взятому в межах від а до b, тобто
(8.6)
Із наслідку 2 розділу 8.1 маємо
Якщо покласти у формулі (8.6) і застосувати теорему про середнє значення у визначному інтегралі, то її можна представити
Розділивши обидві частини в останній рівності на , отримаємо
Останнє відношення є середньою щільністю розподілу ймовірностей на проміжку . Якщо перейти до границі при то отримаємо
. (8.7)
Формула (8.7) задає диференціальну функцію розподілу якщільність розподілу ймовірності неперервної випадкової величини в даній точці. У зв’язку з цим функцію f(x) називають диференціальною функцієюрозподілу або щільністю розподілу. Приклад: Дана диференціальна функція випадкової величини. Знайти ймовірність того, що за результатом випробування випадкова величина прийме значення з інтервалу (0,3 ; 1), якщо диференціальна функція дорівнює
Рішення
За формулою (8.6)
Властивість 3: Інтегральна функція розподілу може бути виражена через диференціальну (8.8)
Доведення
Покладемо у формулі (8.8) маємо
Приклад: Знайти інтегральну функцію за даною диференціальною функцією
Рішення
Якщо , тоді f(x)=0F(x)=0. Якщо , тоді
Якщо ж , тоді
Властивість 4: Інтеграл у нескінченних межах від диференціальної функції дорівнює одиниці (8.9)
Доведення
Цей вираз є ймовірністю події, яка полягає у тому, що випадкова величина прийме значення, яке належить , тобто є ймовірністю достовірної події, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці. Геометрично це означає, що вся площа, обмежена віссю абсцис і кривою щільності розподілу, дорівнює одиниці. У цьому є аналогія щільності розподілу гістограми питомих відносних частот для статистичного ряду.
Приклад: Диференціальна функція розподілу випадкової величини задана рівністю , знайти параметр а.
Рішення
За формулою (8.9) одержуємо
тому що
|
||||||||
|