• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Множина дійсних чисел та її властивості. Арифметичні операції над дійсними числами. Упорядкування дійсних чисел

Множину дійсних чисел вводять по-різному:

1. Дедикінд вводить її за допомогою перерізів;
2. Кантор вводить множину дійсних чисел за допомогою послідовностей.

Приклад: а)послідовність 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;… ;б)

1. Вейєрштрасс вводить множину дійсних чисел за допомогою нескінченних десяткових дробів.

Далі розглядається підхід Веєєрштрасса.

Означення. Множиною дійсних чисел називається множина нескінченних десяткових дробів (НДД), в якій визначено операції упорядкування, додавання і добутку, здійснюються 17 властивостей (16 - аналогічних властивостям множини раціональних чисел, а також додаткова 17 властивість повноти).

Властивості дійсних чисел:

1. Операція упорядкування рац.чисел: .

2. Операція додавання: с – сума а та b, .

3. с – добуток а та b, .

4. Транзитивність упорядкування: ,

,

1. Властивість додавання: – комутативність.
2. Властивість додавання: – асоціативність.
3. Існування нейтрального елемента за додаванням: : .
4. Існування протилежного елемента за додаванням: .
5. Властивість множення: – комутативність.
6. Властивість множення: – асоціативність.
7. : – нейтральний елемент множення.
8. – обернений елемент.
9. – дистрибутивність.
10. Властивість упорядкування по відношенню до додавання: .
11. Властивість упорядкування по відношенню до множення: .
12. Аксіома Архімеда: (словесно: для будь-якого дійсного числа а одиницю можна взяти в такій кількості разів, що отримана сума буде більшою за а , тобто ).
13. Властивість повноти: для будь-якої обмеженої зверху (знизу) множини НДД існує точна верхня (нижня) межа.

Арифметичні операції над дійсними числами:

Означення суми НДД: - НДД їх сумою називається такий НДД, для якого .

Теорема (про існування суми): - НДД х-НДД: .

Теорема (про єдиність суми): - НДД ! х-НДД: .

Означення добутку НДД: якщо а і b – НДД, то

1. , тоді

2.

3. , верхнє – якщо одного знаку, нижнє – різного.

Теорема: - НДД ! х-НДД: .

Упорядкування дійсних чисел:

Розглянемо НДД , .

– СДД (скінченний десятковий дріб):

1. - НДД з нулем в періоді,

2. - НДД з дев’яткою в періоді.

Означення 1: 1) а та b мають однакові знаки; 2) або або вони є представленнями одного і того ж СДД у вигляді НДД.

Означення 2:

0) ;

1) а та b – невід’ємні, тоді ;

2) а та b – від’ємні, тоді ;

3) а – від’ємне, b – невід’ємне, тоді .

Лема (коректність означення упорядкування): якщо СДД b можна представити двома способами: та , а НДД a має вигляд тоді .

Переглядів: 4210