• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Випадкові події. Ймовірність події.

Теорія ймовірності вивчає закономірності у випадкових подіях. Основними поняттями теорії ймовірності є випробування і події.

Під випробуванням (дослідом) розуміють реалізацію комплексу умов, внаслідок якого неодмінно відбудеться яка-небудь подія.

Наприклад: кидання монети - випробування; поява герба чи цифри - події.

Випадковою подією називають подію, пов’язану з даними випробуваннями, яка при здійснені випробування може відбутися, а може і не відбутися. Слово “випадкова” для стислості часто опускають і говорять просто подія. Наприклад, постріл по цілі – це дослід, випадкової події у цьому досліді – попадання в ціль або промах.

Подія називається вірогідною, якщо в результаті досліду вона обов’язково відбудеться і неможливою, якщо вона не може відбутися. Наприклад: випадання не більше шести очок при киданні однієї гральної кості – вірогідна подія; випадання десяти очок при киданні однієї гральної кості – неможлива подія.

Події називаються несумісними, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися одночасно.

Наприклад: попадання і промах при одному пострілі – це несумісні події.

Говорять, що декілька подій у даному досліді утворюють повну системуподій, якщо в результаті досліду неодмінно повинно відбутися хоча б одна з них. Наприклад: при киданні гральної кості події, які полягають у випаданні одного, двох, трьох, чотирьох, п’яти і шести очок, утворюють повну систему подій.

Події називають рівно можливими, якщо ні одна з них не є об’єктивно більш можлива, ніж інша. Наприклад при киданні монети випадання герба чи числа – події рівно можливі.

Кожна подія має якусь степінь можливості. Числова міра степеня об’єктивної можливості події – це ймовірність події.

Ймовірність події А позначається Р(А).

Нехай з системи n - несумісних рівно можливих наслідків випробувань m – наслідків сприяють події А. Тоді ймовірність події А обчислюється по формулі:

Ця формула носить назву класичного означення ймовірності.

Якщо В – вірогідна подія, то m=n, отже Р(В)=1;

Якщо С – неможлива подія, то m=0, отже Р(С)=0;

Якщо А – випадкова подія, то , отже Р(А) ;

Тому ймовірність події знаходиться в межах

Розглянемо приклади безпосереднього обчислення ймовірності.

Приклад 6. Гральну кістку кидають один раз.

Знайти ймовірність події: А – появи парного числа очок; В – появи не менше п’яти очок; С – появи не більше п’яти очок.

Розв’язання: дослід має шість рівно можливих незалежних наслідків (поява одного, двох, трьох, чотирьох, п’яти і шести очок), які утворюють повну систему.

Події А сприяють три наслідки (випадання двох, трьох, чотирьох і шести очок) тому Р(А)=3/6=1/2; події В – два наслідки (випадання п’яти і шести очок) тому Р(В)=2/6=1/3; події С – п’яти наслідків (випадання п’яти, одного, двох, трьох, чотирьох очок), тому Р(С)=5/6.

При обчисленні ймовірності події часто доводиться використовувати формули комбінаторики.

Приклад 7. В урні знаходиться 7 червоних і 6 синіх кульок. З урни одночасно виймають дві кулі. Знайдіть ймовірність того, що обидві кулі червоні (подія А).

Розв’язання: Число рівно можливих незалежних наслідків дорівнює:

Події А сприяють наслідків.

Отже, Р(А)= .

Приклад 8. В партії з 24 деталей п’ять бракованих. З партії вибирають навмання 6 деталей. Знайдіть ймовірність того, що серед цих 6 деталей виявиться 2 браковані (подія В).

Розв’язання: Число рівно можливих незалежних подій дорівнює

Підраховуємо число наслідків, сприятливих для події В. серед 6 взятих навмання деталей повинно бути 2 браковані і 4 стандартні. Дві браковані деталі з п’яти можна вибрати способами, а 4 стандартних деталі з 19 стандартних деталей можна вибрати способами.

Кожна комбінація бракованих деталей може сполучатися з кожною комбінацією стандартних деталей, тому

Отже,

Приклад 9. Дев’ять різних книг розташовані навмання на одній полиці. Знайти ймовірність того, що книжки виявляються поставленими поряд (подія С).

Розв’язання: Тут число рівно можливих незалежних наслідків є Уявимо собі, що чотири певних книг пов’язані разом, тоді цю зв’язку можна розташувати на полиці способоми (зв’язку додати до решти п’яти книг). В середині зв’язки чотири можна переставити способами. При цьому кожна комбінація в середині зв’язки може сполучатися з кожним з способів утворення зв’язки, тобто

Отже,

Переглядів: 2345