• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Дві площини збігаються, якщо виконується рівність

. (4)

У разі виконання умови (4) рівняння однієї площини можна діс­тати з рівняння іншої площини множенням на сталий множник.

Нехай дано три площини

. (5)

Вони перетинаються в одній точці у тому і тільки тому разі, коли визначник

.

Якщо , то площини можуть мати спільну пряму, коли система рівнянь (5) має нескінченну множину розв’язків, або не мати жодної спільної точки, коли система (5) не має розв’язків.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл. 3, стор. 87 – 88.

Тема 8

Різні види рівнянь прямої у просторі. Кут між двома прямими у просторі. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих у просторі. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини

Мета заняття Вивчити різні види рівнянь прямої у просторі, умови || та ┴ двох прямих у просторі, умови || та ┴ прямої та площини, а також формулу для знаходження кута між двома прямими у просторі та кута між прямою та площиною.

Розвивати просторове мислення.

Студенти повинні знати: формули обчислення кута між двома прямими у просторі, міх прямою і площиною; умови перпендикулярності та паралельності двох прямих у просторі та між прямою і площиною.

Студенти повинні вміти: розв'язувати задачи на формули дляобчислення кутів та умови паралельності і перпендикулярності у просторі.

Основні питання теми

1.Параметричні рівняння прямої;

2.Канонічне рівняння прямої;

3.Рівняння прямої, що проходить через 2 дані точки;

4.Пряма, як перетин двох площин;

5.Умови || двох прямих у просторі;

6.Умови ┴ двох прямих у просторі;

7.Умови || прямої і площини;

8.Умови ┴ прямої і площини;

9.Знаходження кута між двома прямими у просторі;

10.Знаходження кута між прямою і площиною;

Завдання для самоперевірки

1.Написати загальні рівняння прямої. Як перейти від загальних рівнянь прямої до канонічних?

2.Як знайти кут між двома прямими в просторі? Написати умови паралельності і перпендикулярності прямих.

3.Через точку М(1;2;3) провести пряму , перпендикулярну до площини, що задана рівнянням 2х – у + 3z + 4 = 0.

4.Через задану точку А(-4;3;1) провести площину, перпендикулярно до прямої, що задана рівнянням (х – 2)/2 = (у – 1)/1 = (z + 1)/3.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 90 – 96.

Лекція” Різні види рівнянь прямої у просторі”

Нехай дано точку М₀(х₀, у₀, z₀) на прямій і вектор , паралельний цій прямій. Складемо рівняння прямої. Нехай
М(х, у, z) — довільна точка на прямій. Вектор паралельний вектору , який називається напрямним вектором прямої.

За умовою паралельності дістанемо рівняння

, (1)

яке називається канонічним рівнянням прямої.

Пряму можна визначити як результат перетину будь-яких двох площин із наведених далі трьох:

.

Останні рівняння є рівняннями проекцій прямої відповідно на координатні площини

Якщо дано дві точки М₁(х₁, у₁, z₁), М₂(х₂, у₂, z₂) на прямій, то за напрямний вектор можна взяти Тоді рівняння прямої набере вигляду

(2)

Приклад. Складемо рівняння прямої, що проходить через точки М₁(1, 2, 3) і М₂(3, 5, 7).

· З рівняння (2) маємо:

·

Якщо відомі канонічні рівняння (1), то з них можна вивести параметричні рівняння прямої. Нехай t — коефіцієнт пропорційності векторів і s, тобто .

З рівнянь

маємо рівняння

, які називаються параметричними рівняннями прямої.

(3)

Коли параметр t змінюється від – ¥ до + ¥, точка М(х, у, z), де х, у, z визначаються рівнянням (3), пробігає всю пряму.

Скориставшись позначеннями

рівняння прямої можна записати у векторній формі

(4)

Рівняння прямої у просторі

Будь-яка пряма лінія у просторі подається системою двох рівнянь які задають (коли розглядати кожне з них зокрема) дві різні площини, що проходять через цю пряму.

(1)

Рівняння (1), узяті разом, називаються загальними рівняннями прямої. Напрямний вектор цієї прямої ортогональний до кожної з нормалей

Отже, можна вважати що

Приклад. Перейдемо від загального рівняння прямої

до канонічного.

· Візьмемо , та із системи рівнянь , знайдемо х₁ = 1, у₁ = – 5.

Покладемо , то із системи рівнянь , знайдемо х₂ = 1, у₂ = – 7. Канонічне рівняння прямої набере вигляду

. ·

Щоб дістати довільну площину, яка проходить через пряму (1), застосовують пучок площин:

. (2)

Переглядів: 1717