• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Графічна ілюстрація

мал.. 1

Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі називається розбіжною.

Приклад. Послідовність — збіжна, оскільки існує (за означенням для будь-якого ).

Зауваження. Послідовність, границя якої дорівнює 0, називається нульовою послідовністю.

Послідовність розбіжна, оскільки не має границі. Вона почергово набуває значення + 1 і – 1.

Властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. Границя сталої дорівнює цій сталій:

.

Теорема 2. Якщо послідовність х_n має границю, то ця границя єдина.

Теорема 3. Послідовність х_n, яка має границю, є обмеженою.

Теорема 4. Нехай . Тоді знайдеться число N, таке що при будь-якому справджуватиметься нерівність .

Теорема 5. Нехай . Якщо послідовність x_n при всіх n задовольняє нерівність , то .

Теорема 6. Якщо і , , то .

Означення. Перехід від нерівності до нерівності називається граничним переходом у нерівності.

Теорема 7 (про «охоплену» послідовність або теорема про двох міліціонерів). Нехай виконується нерівність . Якщо послідовності х_n і у_n збіжні, причому , то послідовність u_n також буде збіжною і .

Приклад. Розглянемо послідовність .

При всіх n виконується нерівність .

Оскільки то .·

Теорема 8. (Больцано–Вейєрштрасса). Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю.

Число е

Розглянемо послідовність чисел . Обчислимо кілька перших значень членів послідовності:

Доведемо, що послідовність х_n монотонно зростає. За формулою бінома Ньютона маємо:

(3)

Замінимо в цьому розкладі n на n + 1. Тоді число доданків збільшиться на одиницю.

Далі маємо:

Кожний вираз, що містить n, зростає, тобто .

Доведемо обмеженість послідовності х_n.

У формулі (3) значення кожного виразу в дужках менше від одиниці. Отже,

За формулою суми геометричної прогресії маємо:

Звідси

За теоремою Больцано–Вейєрштрасса послідовність має границю.

Означення. Границя послідовності називається числом е.

Позначення:

Число е* — (так зване Неперове число).

Для кращого розуміння означення границі послідовності розглянемо приклади:

Приклад.Використовуючи означення границі послідовності довести, що .

Згідно з означенням границі послідовності для довільного треба знайти такий номер елемента послідовності N, що для всіх виконувалася б нерівність . Нехай вибрано , за цим e розглянемо , тоді і для будь-якого маємо: .

Проілюструємо одержаний результат табличкою:

Тоді при , починаючи з , відповідні п можна брати з послідовності Для них . Якщо , а , то тепер п можна брати з послідовності і знову нерів­ність виконується. Отже, для будь-якого навіть нескінченно малого значення e можна знайти N, що для всіх нерів­ність виконується. Це й означає, що .

Приклад.Використовуючи означення границі функції, довести, що .

Згідно з означенням границі функції для будь-якого треба знайти таке , що для тих х, для яких виконується не-
рівність , виконується й нерівність . Нехай вибрано деяке , за ним знайдемо . Тоді .
Повернемося до нерівності: . Тобто
доведено, що .

З наведених прикладів зрозуміло, що завдання знаходження границі послідовності і функції з використанням означення досить складне. Формально для знаходження границі треба у вираз функції підставити число, до якого прямує х. Якщо в результаті підстановки одержується число, то воно дорівнює границі функції, але, як правило, за такої підстановки одержують так звану невизначеність вигляду: і т. п. Для розкриття невизначеності дещо перетворюють вираз функції, що стоїть під знаком границі, і використовують відповідні теореми теорії границь або одну з особливих границь.

Приклади. Знаходження границь:

1) .

2) .

3) .

4)
.

5)
.

6)
.

7)

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 149 – 155.

Тема 11

Переглядів: 564