• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Графічна ілюстрація

мал.. 1

Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі називається розбіжною.

Приклад. Послідовність — збіжна, оскільки існує (за означенням для будь-якого ).

Зауваження. Послідовність, границя якої дорівнює 0, називається нульовою послідовністю.

Послідовність розбіжна, оскільки не має границі. Вона почергово набуває значення + 1 і – 1.

Властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. Границя сталої дорівнює цій сталій:

.

Теорема 2. Якщо послідовність х_n має границю, то ця границя єдина.

Теорема 3. Послідовність х_n, яка має границю, є обмеженою.

Теорема 4. Нехай . Тоді знайдеться число N, таке що при будь-якому справджуватиметься нерівність .

Теорема 5. Нехай . Якщо послідовність x_n при всіх n задовольняє нерівність , то .

Теорема 6. Якщо і , , то .

Означення. Перехід від нерівності до нерівності називається граничним переходом у нерівності.

Теорема 7 (про «охоплену» послідовність або теорема про двох міліціонерів). Нехай виконується нерівність . Якщо послідовності х_n і у_n збіжні, причому , то послідовність u_n також буде збіжною і .

Приклад. Розглянемо послідовність .

При всіх n виконується нерівність .

Оскільки то .·

Теорема 8. (Больцано–Вейєрштрасса). Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю.

Число е

Розглянемо послідовність чисел . Обчислимо кілька перших значень членів послідовності:

Доведемо, що послідовність х_n монотонно зростає. За формулою бінома Ньютона маємо:

(3)

Замінимо в цьому розкладі n на n + 1. Тоді число доданків збільшиться на одиницю.

Далі маємо:

Кожний вираз, що містить n, зростає, тобто .

Доведемо обмеженість послідовності х_n.

У формулі (3) значення кожного виразу в дужках менше від одиниці. Отже,

За формулою суми геометричної прогресії маємо:

Звідси

За теоремою Больцано–Вейєрштрасса послідовність має границю.

Означення. Границя послідовності називається числом е.

Позначення:

Число е* — (так зване Неперове число).

Для кращого розуміння означення границі послідовності розглянемо приклади:

Приклад.Використовуючи означення границі послідовності довести, що .

Згідно з означенням границі послідовності для довільного треба знайти такий номер елемента послідовності N, що для всіх виконувалася б нерівність . Нехай вибрано , за цим e розглянемо , тоді і для будь-якого маємо: .

Проілюструємо одержаний результат табличкою:

Тоді при , починаючи з , відповідні п можна брати з послідовності Для них . Якщо , а , то тепер п можна брати з послідовності і знову нерів­ність виконується. Отже, для будь-якого навіть нескінченно малого значення e можна знайти N, що для всіх нерів­ність виконується. Це й означає, що .

Приклад.Використовуючи означення границі функції, довести, що .

Згідно з означенням границі функції для будь-якого треба знайти таке , що для тих х, для яких виконується не-
рівність , виконується й нерівність . Нехай вибрано деяке , за ним знайдемо . Тоді .
Повернемося до нерівності: . Тобто
доведено, що .

З наведених прикладів зрозуміло, що завдання знаходження границі послідовності і функції з використанням означення досить складне. Формально для знаходження границі треба у вираз функції підставити число, до якого прямує х. Якщо в результаті підстановки одержується число, то воно дорівнює границі функції, але, як правило, за такої підстановки одержують так звану невизначеність вигляду: і т. п. Для розкриття невизначеності дещо перетворюють вираз функції, що стоїть під знаком границі, і використовують відповідні теореми теорії границь або одну з особливих границь.

Приклади. Знаходження границь:

1) .

2) .

3) .

4)
.

5)
.

6)
.

7)

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 149 – 155.

Тема 11

Переглядів: 622