• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тема 13

Диференціал функції, його геометричний зміст. Властивості. Застосування диференціала в наближених обчисленнях

Мета заняття Засвоєння поняття диференціалу функції в точці; формування уміння знаходити диференціали та застосовувати їх при наближених обчисленнях.

Виховувати розумову культуру, культуру усного і писемного мовлення; розвивати логічне мислення.

Студенти повинні знати: поняття диференціалу функції, його геометричний зміст, властивості.

Студенти повинні вміти: знаходити диференціал функції, застосовувати його в наближених обчисленнях.

Основні питання теми

Ми знаємо, що процес знаходження похідних називається диференціюванням. Але в математичному аналізі є поняття диференціала функції в точці як самостійне. Що це таке і для чого, ви повинні вивчити в цій темі

1.Поняття диференціала функції в точці; позначення;

2.Властивості диференціала;

3.Геометричний зміст диференціала;

4.Застосування диференціала в наближених обчисленнях;

5.Приклади

Завдання для самоперевірки

Закінчте вирази:

1. Похідною функції у точці х називається

2. Дотичною до графіка функції у точці М називається …

3. Геометричний зміст похідної функції полягає в тому, що …

4. Фізичний зміст похідної функції полягає в тому, що …

5. Економічний зміст похідної функції полягає в тому, що …

6. Функція називається диференційовною в точці х, якщо …

7. Вказати правильне твердження:

а) якщо функція неперервна в точці х, то вона диференційовна в ній;

б) якщо функція диференційовна в точці х, то вона неперервна в цій точці.

8. Диференціалом функції називається …

9. Геометричний зміст диференціала полягає в тому, що …

10. Якщо існують похідні функцій і , то:

а) … (довести);

б) … (довести);

в) … (довести).

11. Сформулювати і довести теорему про похідну складної функції.

12. Сформулювати і довести теорему про похідну оберненої функції.

13. Еластичністю функції називається …

14. Якщо існують еластичності та функцій і , то:

а) … (довести);

б) … (довести).

15. Попит називається еластичним, якщо …

16. Попит називається нееластичним, якщо …

17. Знайти відношення для функцій:

1) при

2) при

3) при .

18. Використовуючи означення похідної як , знайти похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

19. Нехай витрати виробництва є функцією кількості випущеної продукції: . Знайти середні і граничні витрати виробництва за обсягу випущеної продукції, що дорівнює 10 грошовим одиницям.

20. Обсяг виготовленої продукції у (ум. од.) цеху протягом робочого дня виражається такою функцією , де t — кількість годин роботи. Знайти обсяг випуску продукції через 2 години після початку робочого дня.

21. У якій точці дотична до параболи : 1) паралельна осі ОХ; 2) утворює кут 45° з віссю ОХ?

22.Знайти диференціал функції у = lnsin 2х: а)при довільних значеннях х і Δх; б)при х = π/8; в) при х = π/8 і Δх = 0,1.

23.Обчислити наближено arсtg 1,05.

24.Знайти диференціал функції у = lnsin 2х: а)при довільних значеннях х і Δх; б)при х = π/8; в) при х = π/8 і Δх = 0,1.

25.Обчислити наближено arсtg 1,05.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

гл.5, стор. 218 – 222.

Лекція „диференціал”

Нехай функція у = f(x) диференційовна в інтервалі .
З означення диференційовності маємо:

Звідси можна записати:

(1)

де функція при задовольняє умову

Із (1) для приросту функції дістаємо:

Покладемо, що .

Означення. Величина f¢(x)Dх називається диференціалом функції f(x) за приростом Dх.

Позначення:

Геометрична інтерпретація:

Диференціал є лінійним наближенням (апроксимацією) до приросту функції: . Наскільки менше , настільки краще наближення (апроксимація) (мал. 1).

мал. 1

Приклад. Нехай . Знайдемо диференціал df(x) і приріст Df(x) для і і порівняємо їх.

мал. 2

1) ;

(мал. 2).

2)

.

. ·

Правила обчислення диференціала

Правило 1. Нехай .

Тоді

або

Правило 2. Дано .

Тоді

Правило 3. Маємо , .

Тоді

Правило 4. Якщо , , то

Правило 5. Якщо функція має обернену , то

.

Правило 6. Якщо функції задані у параметричному вигляді

, ,

то

.

Зауваження. Такі перетворення застосовують, виконуючи інтегрування функцій.

Інваріантність форми
першого диференціала функції

Важлива властивість диференціала функції полягає в тому, що його вигляд лишається незмінним навіть у тому разі, коли переходять до іншої незалежної змінної.

¨ Справді, нехай у = f(x). Тоді диференціал цієї функції записується у вигляді

. (1)

Виконаємо заміну змінних u = j(x). Тоді функція у = f(u) буде функцією від змінної х:

.

Обчислюючи диференціал цієї функції, дістаємо:

, (2)

або

. (3)

Вираз є диференціалом функції u, оскільки . Тому (3) можна подати у вигляді

.

Отже, ми повернулися до вигляду диференціала (1), який був записаний за припущення, що змінна u є незалежною. Маємо властивість диференціала, яка називається його інваріантністю:

Переглядів: 846