справджується в усіх випадках: як тоді, коли u є незалежною змінною, так і тоді, коли u є функцією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником du слід розуміти диференціал функції u.
Зауваження. Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то формули для знаходження диференціалів будуть такі самі, як і для знаходження похідних, якщо кожну з них помножити на dx.
Приклад. Знайти диференціал функції .
·
·
Диференціали вищих порядків
Диференціал функції є також функцією незалежної змінної, а тому його можна диференціювати. Розглянемо функцію .
Означення. Другим диференціалом функціїу = f(x) називається вираз d(dy).
Позначення:
Аналогічно дістаємо третій диференціал і т. д. до диференціала n-го порядку .
Диференціал незалежної змінної dx не залежить від х, тому, диференціюючи dx за х, слід розглядати dx як величину сталу відносно х. Отже, приходимо до простих співвідношень між послідовними диференціалами і послідовними похідними:
(1)
Приклад. Знайти третій диференціал функції
.
· Згідно з (1) дістаємо:
·
Зауваження. Формули (1) при будуть неправильними в загальному випадку, якщо змінна х є функцією від незалежного аргументу t. Виняток становитиме випадок, коли х є лінійною функцією незалежного аргументу t і .