Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті

1.Якщо диференційовна на інтервалі (а;b) функція спадає, то її похідна на цьому інтервалі...

а)< 0 або = 0 б)> 0 або = 0

в)= 0 г)не існує

2.Точка, в якій похідна функції дорівнює нулю або не існує називається...

а)точкою мінімуму б)точкою максимуму

в)стаціонарною точкою г)точкою екстремуму

3.Значення функції в точці мінімуму називається...

а)максимумом функції б)екстремумом функції

в)мінімумом функції г)наближенням функції

4.Точка області визначення функції, яка одночас є кінцем двох інтервалів різної опуклості називається.......

а)точкою неперервності функції б)точкою мінімуму функції

в)точкою максимуму функції г)точкою перегину графіка функції

5.Якщо друга похідна функції f ''(х) на даному інтервалі > 0, то графік функції...

а)опуклий донизу на даному інтервалі

б)опуклий догори на даному інтервалі

в)зростає на даному інтервалі

г)спадає на даному інтервалі

6.Пряма, яка підходить до графіка функції дуже близько, але ніколи його не перетинає називається...

а)асимптотою б)нормаллю

в)дотичною г)січною

7.Асимптоти бувають....

а)похилі б)вертикальні

в)горизонтальні г)хвилясті

8.Різниця двох значень аргументів функції називається...

а)диференціалом функції б)прирістом функції

в)прирістом аргументу г)похідною функції

9.Якщо а - точка розрива функції, то вертикальну асимптоту задає рівняння...

а) у = в б) х = а в) у = а г) х = в

10.Графік функції у = f(х) буде опуклий догори на інтервалі (а;в), якщо на цьому інтервалі...

а)похідна функції f ' (х) зростає

б)похідна функції f ' (х) спадає

в)похідна функції f ' (х) стала

г)похідної функції f ' (х) не існує

11.Якщо похідна функції у=f '(х) < 0 на інтервалі (а;b), то функція на цьому інтервалі..

а)спадає б)стала

в)зростає г)не існує

12.Якщо диференційовна на інтервалі (а;b) функція зростає, то її похідна на цьому інтервалі..

а)< 0 або = 0 б)> 0 або = 0

в)= 0 г)не існує

13.Точки мінімума і максимума функції називаються..........

а)точками екстремуму функції б)точками розрива функції

в)точками неперервності функції г) стаціонарними точками функції

14.Значення функції в точці максимуму називається.........

а)максимумом функції б)екстремумом функції

в)мінімумом функції г)наближенням функції

15.Точки перегину графіка функції знаходяться за допомогою...

а)асимптот графіка б)похідної першого порядку

в)монотонності функції г)похідної другого порядку

16.Якщо друга похідна функції f ''(x) на даному інтервалі < 0, то графік функції............

а)опуклий донизу на даному інтервалі

б)опуклий догори на даному інтервалі

в)зростає на даному інтервалі

г)спадає на даному інтервалі

17.Пряма, відстань від точок якої до точок графіка функції прямує до 0 називається...

а)асимптотою б)нормаллю

в)дотичною г)січною

18. Графік функції може мати вертикальні асимптоти х=а , якщо функція в точці а буде...

а)неперервною б)сталою

в)розривною г)дотичною

19.Рівняння у = кх + в може задавати таку асимптоту до графіка функції у = f(х)...

а)похилу б)вертикальну

в)горизонтальну г)хвилясту

20.Графік функції у = f(х) буде опуклий донизу на інтервалі (а;в), якщо на цьому інтервалі...

а)похідна функції f ' (х) зростає б)похідна функції f ' (х) спадає

в)похідна функції f ' (х) стала г)похідної функції f ' (х) не існує

Завдання для самоперевірки

Дослідити функцію та побудувати її графік

1. . 2. .

3. .

Знайти інтервали монотонності таких функцій:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. .

Визначити екстремуми функцій:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

 

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.5, стор.246 – 266

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.

Теми рефератів:

1.Застосування похідної в економіці.

2.Диференціювання функцій, заданих графічно і таблично.

3.Екстремальні задачі.

Лекція „Загальний план дослідження функції”

1. Знайти область визначення та значення функції, заданої формулою, якщо таку область не зазначено.

2. Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.

3. З’ясувати точки перетину функції з вісями координат.

4. Дослідити функцію на неперервність.

5. Знайти асимптоти графіка функції (якщо вони існують).

6. З’ясувати, як функція поводиться на кінцях кожного з проміжків області визначення (знайти границі функції на кінцях цих проміжків, якщо вони є).

7. Дослідити функцію на диференційовність.

8. Дослідити функцію на монотонність та екстремуми. Знайти екстремуми і значення функції в точках екстремуму.

9. Дослідити функцію на опуклість (вгнутість): знайти інтер­вали опуклості (вгнутості), а також точки перегину функції.

10. Знайти найбільше і найменше значення функції (якщо вони існують).

11. Побудувати графік функції.

Приклад. Побудуємо графік функції .

1. Функція не існує в точках . Тому область визначення функції

2. Функція непарна, оскільки . З огляду на непарність функції достатньо побудувати її графік лише при .

Функція неперіодична.

3. Точки перетину з осями координат:

з віссю Ох:

(0; 0) — точка перетину з віссю Ох.

з віссю Оу:

(0; 0) — точка перетину з віссю Оу.

4. Функція невизначена в точці тому ці точки є «підозрілими» на розрив. Знайдемо односторонні границі в точці :

Точки — точки розриву другого роду.

— область неперервності функції.

5. Знаходимо асимптоти функції. Насамперед з’ясовуємо, що прямі — вертикальні асимптоти. (Це випливає з означення вертикальних асимптот та п. 4.)

Шукаємо похилу асимптоту

;

.

Отже, — похила асимптота.

6. В п. 4 знайдені односторонні границі функції в точках . Залишилось знайти границі функції, коли і

7. Знайдемо першу похідну від функції у (вона існує на D (x)):

8. Дослідимо функцію на монотонність і знайдемо точки екстремуму. Для знаходження стаціонарних точок прирівнюємо першу похідну до нуля:

Зважаючи на зауваження п. 2, розглядатимемо дослідження функції при

, коли ,

, коли

Тому — точка максимуму, — точка мінімуму.

9. Знайдемо другу похідну функції у:

Точка х = 0 може бути точкою перегину, бо Перевіримо це за критерієм. Визначимо знак в околі точки х = 0

Друга похідна змінює в точці х = 0 свій знак, тому функція має точку перегину х = 0, на проміжку (0; 1) функція опукла, (1, +∞) — функція вгнута.

10. Найбільше та найменше значення функції не існують.

11. Побудуємо графік функції, враховуючи дослідження.

мал. 1

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.5, стор.246 – 266

 

Розділ”Диференційованість функцій багатьох змінних”




Переглядів: 415

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Тема 15 | Тема 16

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.009 сек.