Способи задання функції

Функцію двох змінних, як і функцію однієї змінної, можна подати такими способами:

· аналітично(у вигляді формули); наприклад:

· таблично; наприклад:

х	у

(таблиця множення чисел: z = xy)

· графічно(мал. 2);

мал. 2

Графічне зображення функції двох змінних

Означення. Графікомфункції двох змінних називається множина всіх точок (х, у, f(x, y)) простору R³, де (x, y) Î R².

Щоб зобразити графічно функцію двох змінних, розглянемо систему координат хуz у тривимірному просторі (мал. 3).

мал. 3

Кожній парі чисел х і у відповідає точка Р(х, у) площини ху. Узявши в цій точці значення функції , дістанемо точку у просторі R³ з координатами (х, у, z), яка позначається символом Q(х, у, z). Усі такі точки, що відповідають різним значенням незалежних змінних х і у, утворюють певну поверхню у просторі R³. Ця поверхня і є графічним зображенням функції .

Приклад. Графічним зображенням функції є площина, що проходить через точки (0, 0, 4), (0, 4, 0), (4, 0, 0) (мал. 4).

мал. 4

Приклад. Графічним зображенням функції є сідло (мал. 5).

мал. 5

Зауваження. На практиці побудувати графік функції двох змінних буває нелегко, оскільки потрібно зобразити на площині просторову фігуру, а це не завжди вдається.

Існує й інший спосіб геометричного зображення функції двох змінних — за допомогою ліній рівня.

Означення. Лінією рівняназивається множина всіх точок площини, в яких функція набуває однакових значень. Рівняння ліній рівня записують у вигляді . Для функції трьох змінних розглядають поверхні рівня.

Приклад. Накресливши кілька ліній рівня та задавши значення на них функції, дістанемо певне уявлення про характер зміни функції.

Один з найпростіших прикладів зображення функції за допомогою ліній рівня — задання рельєфу місцевості на географічній карті. Висота місцевості над рівнем моря є функцією координат точки земної поверхні. За лініями однакової висоти, нанесеними на карту, легко уявити рельєф відповідної місцевості.

Приклад. В метеорології лініями рівня є ізотермита ізобари. В економіці — ізокванти, криві індиферентності. Лініями рівня виробничої функції є ізокванти. Ізокванта— крива, утворена множиною точок, що відповідають різнимваріантам поєднання двох будь-яких видів витрат, котрі забезпечують постійно одну й ту саму кількість виготовлюваної продукції (мал. 6). Крива індиферентностівідбиває зміну поєднання двох різних благ за умови, що загальна споживна корисність їх лишається сталою (мал. 7).

мал. 6 мал. 7

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Тема 16	\|	Знаходження області визначення функції двох змінних

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.