• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Границя функції двох змінних

Означення. Число А називається границею функції при , , якщо для будь-якого існує число , таке, що в разі виконання нерівності

справджується нерівність .

Позначають:

,

або

Наслідок.

Теорема 1. Якщо функція f(х, y) має границю при (х, y) ® ® (х₀, y₀), то така границя тільки одна.

Теорема 2. Якщо функція f(х, y) має границю при (х, y) ®
® (х₀, y₀), то вона обмежена в деякому околі точки f(х₀, y₀).

Теорема 3. Якщо , і в деякому виколотому околі точки ( , y₀) виконується нерівність , то .

Наслідок.Якщо у деякому околі точки ( , y₀) і існує, то ця границя невід’ємна (недодатна).

Теорема.4. Якщо і в деякому виколотому d-околі точки ( , y₀) справджуються нерівності , то і .

Теорема 5. Якщо ,

то виконуються рівності:

1) ;

2) ;

3) (с ¹ 0).

Означення.Якщо , то функція називається нескінченно малоюпри

Приклад. Обчислити .

●Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто

дістанемо:

Приклад. Обчислити .

●Візьмемо ху = t. Тоді з того, що (х, у) ® (0, 0), випливає t ® 0 і задану границю можна подати у вигляді . При t ® 0 маємо: , . Отже,

.

Звідси, .

Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує й принципова різниця, з огляду на яку поняття границі функ­ції кількох змінних є істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Так, для функції багатьох змінних справджуються теореми про границю суми, добутку та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:

Якщо (f(x) — функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі її дорівнюють b. Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в
точці.

Для функції двох змінних наближення до точки (х₀, у₀) можливе нескінченною кількістю способів: і справа, і зліва, і згори, і знизу, і під деяким кутом до осі х тощо (мал.9).

Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по складніших траєкторіях (мал. 10).

мал. 9 мал. 10

Переглядів: 3422