• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Властивості повного диференціала

Для будь-яких диференційовних функцій , справджуються рівності:

, де a, b — сталі; (4)

;

, .

Похідна за напрямом. Градієнт

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки ; l — деякий промінь з початком у точці ; — точка на цьому промені, яка належить околу точки (мал. 2); — довжина відрізка . Якщо існує , то ця границя називається похідною функції за напрямом l у точці і позначається .

Зокрема, — похідна функції за додатним напрямом осі х, а — похідна функції за додатним напрямом осі у.

мал. 2

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни функції у точці за напрямом l.

Теорема. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому

(5)

де і — значення частинних похідних у точці .

Приклад. Знайти похідну функції у точці за напрямом

● Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці функції :

Тоді за формулою (5) маємо:

.

Означення. Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції в точ­ці , називається градієнтом функції у цій точціі позначається :

(7) де i, j — одиничні орти.

Приклад. Знайти градієнт функції у точці .

●Запишемо та обчислимо частинні похідні в точці :

;

Тоді згідно з (7) , або .

Аналогічно для диференційовної функції у точці похідна за напрямом довільного одинично­го вектора , подається так:

Означення. Градієнтом диференційовної функції у точці називають вектор де — одиничні орти, а значення частинних по-
хідних обчислені в точці .

Властивості:

1. . 2. .

3. Якщо , то похідна досягає найбільшого значення при .

Переглядів: 570