• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Властивості повного диференціала

Для будь-яких диференційовних функцій , справджуються рівності:

, де a, b — сталі; (4)

;

, .

Похідна за напрямом. Градієнт

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки ; l — деякий промінь з початком у точці ; — точка на цьому промені, яка належить околу точки (мал. 2); — довжина відрізка . Якщо існує , то ця границя називається похідною функції за напрямом l у точці і позначається .

Зокрема, — похідна функції за додатним напрямом осі х, а — похідна функції за додатним напрямом осі у.

мал. 2

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни функції у точці за напрямом l.

Теорема. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому

(5)

де і — значення частинних похідних у точці .

Приклад. Знайти похідну функції у точці за напрямом

● Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці функції :

Тоді за формулою (5) маємо:

.

Означення. Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції в точ­ці , називається градієнтом функції у цій точціі позначається :

(7) де i, j — одиничні орти.

Приклад. Знайти градієнт функції у точці .

●Запишемо та обчислимо частинні похідні в точці :

;

Тоді згідно з (7) , або .

Аналогічно для диференційовної функції у точці похідна за напрямом довільного одинично­го вектора , подається так:

Означення. Градієнтом диференційовної функції у точці називають вектор де — одиничні орти, а значення частинних по-
хідних обчислені в точці .

Властивості:

1. . 2. .

3. Якщо , то похідна досягає найбільшого значення при .

Переглядів: 517