• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

Нехай функція має частинні похідні в усіх точках множини D. Візьмемо будь-яку точку . Якщо в цій точці існують частинні похідні і , то вони залежать від х і у, тобто вони є функціями двох змінних. Отже, можна ставити питання про відшукання їх частинних похідних. Якщо вони існують, їх називають частинними похідними другого порядкуі позначають відповідно (читаємо: «де два зет по де ікс квадрат») або , або , або , або Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків.

Нехай функція в околі точки має частинну похідну першого порядку .

Означення. Частинну похідну функції за змінною називають частинною похідною другого порядку за змінними і і позначають або

Отже, за означенням:

.

Якщо , похідну позначають .

Означення. Частинною похідною порядку називають частинну похідну першого порядку за будь-якою змінною від будь-якої похідної порядку.

Частинні похідні за різними змінними називають мішаними частинними похідними.

Теорема . Якщо дві мішані похідні порядку m, що відріз­няються лише порядком диференціювання, неперервні в деякій точці, то їх значення в цій точці збігаються.

Приклад. Знайти , якщо .

●Маємо:

Знайти і для функції .

● .

Означення. Диференціалом другого порядку функції називається диференціал її повного диференціала:

.

Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків:

.

Для диференціала порядку m справджується залежність:

(6)

У частинному випадку при формула (8) набирає вигляду:

(7)

Зауваження. Для складеної функції , де , , другий її диференціал, загалом, не подається через dx і dy згідно з формулою (9). Отже, для порядку не виконується властивість інваріантності форми диференціала щодо вибору змінних.

У разі функції n змінних формула (8) набирає вигляду:

(8)

де підсумовування виконується за всіма цілими невід’ємними , такими що .

При формула (8) подається так:

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.6, стор. 294- 318.

Переглядів: 1445