Геометрична інтерпретація

1. Площа, обмежена кривою В'АВ, має різні знаки по різні боки кожної межі інтегрування а (мал. 2).

мал. 2

2. Площі кривих, розміщених над віссю абсцис, вважаються додатними, а площі кривих, розміщених під віссю абсцис, — від’ємними (мал. 3).

мал. 3

Приклад. Знайти суму площ двох сусідніх хвиль синусоїди

● (мал. 4).

мал. 4

Властивість 5. Якщо j(х) > y(х) для х Î (a; b), a < b, то справджується рівність:

Властивість 6. Визначений інтеграл суми функцій подається як алгебраїчна сума інтегралів:

(5)

Властивість 7.Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

(6)

Властивість 8.Якщо функція f(x) інтегровна на [a; b] і а < b, то

(7)

Властивість 9.Якщо f(x) інтегровна на [a; b], де а < b, і якщо на цьому проміжку виконується нерівність

то

(8)

Властивість 10.(Теорема про середнє значення.) Нехай f(x) — інтегровна на [a; b] функція і на всьому проміжку Тоді

(9)

де

Випадок неперервної функції f(x).Якщо числа m i M — відповідно найбільше і найменше значення функції (вони існують за теоремою Вейєрштрасса), то за теоремою Больцано—Коші проміжного значення m функція f(x) набуває в деякій точці с проміжку [a, b].

Таким чином,

Геометрична ілюстрація. Нехай f(x) ³ 0. Розглянемо криволінійну фігуру АВСD, обмежену кривою у = f(x) (мал. 5). Площа такої фігури (виражена визначеним інтегралом) дорівнює площі прямокутника з основою АВ і висотою LM.

Мал. 5

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Властивості визначеного інтеграла	\|	ІІ. Розглянемо інший підхід до поняття визначеного інтеграла.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.116 сек.