Існують границі

то при q < 1 ряд абсолютно збіжний, а при q > 1 — розбіжний.

Приклад. Дослідимо збіжність ряду

●Знаходимо границю

Отже, ряд, що розглядається, збігається абсолютно.

Раніше відмічалося, що в довільному ряді не можна переставляти члени ряду. Наведемо без доведення такі твердження.

Теорема 4. Якщо ряд збігається абсолютно, то за будь-якої перестановки членів ряд буде збігатися і сума його не змінюватиметься.

Теорема 5. (Теорема Рімана.) Якщо ряд збігається умовно і s — будь-яке наперед задане число, то завжди можна переставити члени ряду так, щоб сума отриманого ряду дорівнювала s.

Дамо пояснення до теореми Рімана. Умовна збіжність ряду виконується завдяки тому, що додатні і від’ємні члени взаємно знищуються. Якщо скласти ряд лише із додатних членів і ряд лише із від’ємних членів, то ці ряди розбігаються. Отже, можна почергово обирати лише додатні або від’ємні числа так, щоб значення частинних сум було як можна ближче до значення s. При цьому сума ряду дорівнюватиме s.

Приклад. Розглянемо ряд Лейбніца

Переставимо члени ряду так, щоб після додатного члена стояли два від’ємні.

При цьому дістанемо ряд

За такого переставлення членів ряду сума ряду зменшилась удвічі.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл. 9, стор. 505 – 509.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Абсолютна й умовна збіжність	\|	Тема 24

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.