• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Класифікація функцій

Явно задана функція , якщо вона задана формулою y₌ f(x) в якій права частина не містить залежної змінної (кажуть, що така функція розв’язана відносно залежної змінної). Наприклад: y = x² + 5x + 1

Неявно задана функція, якщо вона задана формулою F(x;y) = 0 не розв’язаною відносно залежної змінної. Наприклад: x² + y² = R²

Параметрично задана функція , якщо і змінна х і змінна у виражені через проміжну змінну ( параметр) t : ;

Елементарні функції – функції визначені формулами, що містять скінчене число операцій: додавання, множення, ділення, піднесення до степеня, обчислення логарифмів, обчислення тригонометричних функцій (тобто це сукупність всіх алгебраїчних, та трансцендентних функцій).

Прикладами неелементарних функцій є такі: y = |x| ,y = [x] ,y = {x}

Складна функція (функція від функції, композиція функцій).

Наприклад: y = lgsinx є композицією двох функцій u = g(x) = sin (x), та функції y = f(u) = lg(u) отже y = f(g(x)).

Обернена функція. Якщо функція f відображає змінні х з області визначення Х на змінні у з множини значень у, то функцію g, що буде відображати змінні у на змінні х називають функцією, оберненою до функції f . Позначають g = f ^-1 Наприклад, якщо

y = 2x - 4то, виразивши в цій залежності хчерез у :

х = 0,5у + 2 отримаємо обернену функцію до даної. Якщо ж використати традиційну домовленість, що незалежну змінну позначають буквою х а залежну змінну буквою у , то остаточно функцію g можна записати у виді: y = 0,5x + 2. Графіки взаємо обернених функцій симетричні відносно прямої y = x.

y

0 2 х

y = x

Теорема про обернені функції: Для всякої неперервної зростаючої (спадної) функції у = f(x), що задана на відрізку [а;b] з множини значень [f(а);f(b)] існує однозначна зростаюча ( спадна) і неперервна обернена функція, що відображає відрізок [f(а);f(b)] на відрізок [а;b] x = g(y)

Більш наочні відомості про функцію можна отримати, якщо побудувати її графік. проілюструємо це на функції , що задавалась в §1. як приклад табличним способом. В цьому прикладі розглядалась функція доходу від об`єму продажу. Використовуючи наведену раніш таблицю, побудуємо графік функції по точкам: (30;3000), (40;4000), (28;2800), (14;1400), (36;3600).

Доход

0 10 20 30 40 Об`єм продажу

Зауваження. Строго кажучи, графіком таблично заданої функції у наведеному прикладі буде п’ять точок, що лежать на одній прямій. Якщо вважати припустимим значенням об`єму продажу будь яке невід`ємне ціле число (тому як продукція рахується в штуках), то при сталій ціні одиниці продукції графіком доходу буде сукупність точок виду (n;100n), де n- об`єм продукції в штуках. Якщо б розглядалась продукція, що допускає (теоретично) безмежний поділ, наприклад добич нафти, газу і т. п., то кількість продукції можна б було представити будь яким невід`ємним числом в деякій системі одиниць вимірювання, наприклад літри, грами і т. п. Якщо 100 гр. од. - ціна одиниці об`єму газу, то вартість х одиниць об`єму буде дорівнювати 100х, тоді графік залежності доходу від об`єму продажу газу буде промінь, що зображений на малюнку.

При побудові графіка функції можна використовувати міліметровий папір але зручніше це робити з використанням комп`ютера, при цьому дуже важливо правильно визначити “графічне вікно” , яке зазвичай включає мінімальне значення для х (x _min ) та максимальне значення для х ( x _max ), масштаб для х ( x _scale ), а також масштаб для значень функції y (y _scale ). Наприклад, якщо ми бажаємо побудувати графік функції і будемо використовувати таке графічне вікно:

x _min = -2; x _max = 1; x _scale = 1;

y _min = -5; y _max = 5; y _scale = 1,

то на екрані дисплея ми зовсім не побачимо графіка функції, а тільки координатні осі. Це пов`язано з тим , що область визначення наведеної функції задається нерівністю х ³ 2 Згадаємо, що вираз під знаком квадратного кореня не може бути від`ємним, і тому графік просто не попаде у вікно. Якщо ж ми змінимо графічне вікно на

x _min = 0; x _max = 9; x _scale = 1;

y _min = -1; y _max = 3; y _scale = 1,

то побачимо на дисплеї приблизно таке зображення як показано на малюнку

У

0 2 9 X

Слід відмітити, що вибір зручного і правильного графічного вікна залежить від функції, яку ми бажаємо побудувати. Тільки знаходження області визначення функції та множини її значень може допомогти нам зробити правильний вибір відповідного вікна.

Зручною комп'ютерною програмою для побудови графіків функцій є "GRAN1"

Основні елементарні функції їх графіки, властивості та перетворення вивчаються в середній школі, тому нагадаємо довідковий матеріал:

Основні види функцій
№	Функція	Графік
	Стала функція y=b; b=const D(y)=(-¥;¥) E(y)=b	Y y=b   0 Х
	Пряма пропорційність y=kx; k¹0 D(y) = (-¥;¥) E(y) = (-¥;¥) y = kx - непарна функція При k>0 - функція зростає При к<0 - функція спадаюча k = tga	Уy=kx a 0 Х
	Лінійна функція y = kx+b; bÎR D(y) = (-¥;¥) При k>0 - функція зростає При к<0 - функція спадаюча k = tga	У b a 0 Х
	Обернена пропорційність y =k/x; k¹0 D(y) = (-¥;0)Ú(0;¥) E(y) = (-¥;0)Ú(0;¥) При k>0 – спадаюча При k<0 – зростаюча y =k/x - непарна функція	У 0 Х
	Cтепенева функціяy = х ; aÎR Поведінка степеневої функції суттєво залежить від природи числа a. Розглянемо окремі випадки.
5.1	a - довільне натуральне число D(y) = (-¥;¥) а) E(y)=[0;¥), при n=2k(n-парне) б) Е(y)=(-¥;¥), при n=2k+1(n-непарне)	У У 0 Х 0 Х а). б).
5.2	a - довільне ціле від’ємне число D(y) = (-¥;0)Ú(0;¥) a)E(y) = (-¥;0)Ú(0;¥), при a=2n+1(a- непарне) б)E(y) = (0;¥), при a=2n (a-парне)	У У 0 Х 0 Х а). б).
5.3	a-довільне додатнє дробове число у=х , де a = m/n a)D(y)=[0;¥) E(y)=[0;¥), при m=1; n=2k (n-парне) б)D(y)=(-¥;¥) E(y)=(-¥;¥), при m=1; n=2k+1 (n-непарне) якщо m=m1, n=n1, де m1/n1 додатній нескорочуваний дріб в) D(y)=[0;¥) E(y)=[0;¥), при m1/n1>1 г) D(y)=[0;¥) E(y)=[0;¥), при 0<m1/n1<1	У У   0 Х 0 Х   а) б)   У У   0 Х 0 Х в) a>1 г) 0<a<1
5.4	a-довільне від’ємне дробове y=x ,де a=m/n - від’ємний нескорочуваний дріб D(y)=]0;¥)E(y)=]0;¥)	У

Х

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.