• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Правило Лопіталя.

Нехай в точці х = афункції fіgобидві нескінченно малі або нескінченно великі. Тоді їх відношення невизначене в точці х = аі в цьому випадку кажуть, що воно є невизначеністю типу або . Знаходження границі цього відношення називається розкриттям невизначеності. Найбільш простим і ефективним методом розкриття таких невизначеностей є правило Лопіталя.

Нехай функції f і g:

1) диференційовані в деякому околі точки а, завинятком, можливо, самої точки, причому в цьому околі

2) одночасно є нескінченно малими або нескінченно великими в точці а

3). існує = в, можливо і нескінченні.

Тоді існує , причому = (1)

Теорему Лопіталя коротко можна сформулювати так:

Теорема: Границя відношення двох безмежно малих або

безмежно великих функцій дорівнює границі

відношення їх похідних.

Тобто, якщо маємо невизначеність типу або , то = , якщо , а

Зауваження 1 :Якщо відношення похідних також являє собою невизначеність типу або , то можна знову і знову застосовувати правило Лопіталя, якщо це кориссно, до отримання остаточного результату.

Зауваження 2 :Невизначеність типу 0×¥ може бути приведена до типів , за допомогою перетворення

Зауваження 3 : Невизначеність типу може бути приведена до типy 0×¥ за допомогою перетворення

Зауваження 4 :Правило Лопіталя дає тільки достатню, але не необхідну умову існування границі. Границя відношення похідних може і не існувати, в той час як границя відношення функцій існує.

Наприклад , але границя відношення похідних не існує, оскільки cos x при х®¥ коливається від -1 до +1.

Приклади обчислення границь функції за правилом Лопіталя:

1). =0

2). =

= = ¼ =

При кожному застосуванні правила Лопіталя степінь чисельника буде зменшуватись на одиницю і через (k) +1 раз стане від’ємною, тобто чисельник перетвориться в безмежно малу величину (якщо k – не ціле число, якщо k – ціле, то в сталу величину ). Знаменник же буде залишатись безмежно великою величиною. Таким чином =0.

3).

4).користовуючи правило Лопіталя тричі отримаємо= = = = = = = =0

5) = = = = = = = = = 1

Теорема Коші. Якщо функції f(x) і неперервні на відрізку [а; в], диференційовані в інтервалі (а; в) , причому , х Î (а; в) , то існує така точка с Î (а; в), що

=

Доведення:

Введемо допоміжну функцію

F(x) =

Яку можна розглядати на відрізку [а; в], бо . У противному разі за теоремою Ролля знайшлася б точка с Î (а; в), в якій , що неможливо, бо за умовою " х Î (а; в): .Неважко пересвідчитись, що функція F(x) задовольняє всі умови теореми Ролля. Тому знайдеться точка с Î (а; в), в якій _-- = 0, звідки і випливає формула теореми Коші.

Переглядів: 1056