Метод Гауса

Метод Гауса розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь – це метод послідовного виключення невідомих. Він заснований на приведенні матриці (2) до трикутного вигляду.

Спочатку за допомогою першого рівняння виключається з усіх наступних рівнянь системи. Потім за допомогою другого рівняння виключається з третього та всіх наступних рівнянь. Цей процес, який називають прямим ходом методу Гауса, продовжується до тих пір, поки у лівій частині останнього (n-го) рівняння не залишиться лише один член з невідомим , тобто матриця (2) системи буде приведена до трикутного вигляду.

Зворотний хід методу Гауса полягає в послідовному обчисленні шуканих невідомих: розв’язуючи останнє рівняння, знаходимо єдине у цьому рівнянні невідоме . Далі, використовуючи це значення, з попереднього рівняння обчислюємо й т. д. Останнім знаходимо з першого рівняння.

Таким чином, процес розв’язання системи (1) за методом Гауса розпадається на два етапи.

Проілюструємо цей метод на прикладі розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь 3-го порядку:

(4)

за умови, що її матриця А=[a_ij] є не виродженою.

Вважатимемо, що . Для виключення з другого рівняння додамо до нього перше, помножене на . Помноживши перше рівняння на і додавши результат до третього рівняння, також виключимо з нього . Отримуємо рівносильну (4) систему рівнянь виду:

(5)

Тепер із третього рівняння системи (5) потрібно виключити . Для цього помножимо друге рівняння на і додамо результат до третього. Одержимо:

(6)

Матриця системи (6) має трикутний вигляд. На цьому закінчується прямий хід методу Гауса.

Зворотній хід починається з розв’язання третього рівняння системи (6):

Використовуючи це значення, можна знайти із другого рівняння, а потім із першого:

Аналогічно будується обчислювальний алгоритм для лінійної системи з довільною кількістю рівнянь.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Метод простої ітерації	\|	Зразок виконання завдання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.002 сек.