Метод Ньютона (метод дотичних)

Для уточнення наближеного розв’язку рівняння зручно використовувати метод Ньютона, який також називають методом дотичних.

Нехай знайдене деяке початкове наближення кореня . Розглянемо у точці дотичну (рис. 1) до кривої , що задається рівнянням

Рис. 1 Геометрична інтерпретація методу Ньютона (методу дотичних)

Наступне наближення кореня знаходимо як абсцису точки перетину дотичної з віссю х :

Аналогічно знаходимо й наступні наближення як точки перетину з віссю абсцис дотичних, проведених у точках , й т. д. Формула для -го наближення матиме вигляд

Наведені міркування справедливі за умови . Для закінчення ітераційного процесу може бути використана умова . Можна також оцінювати близькість двох послідовних наближень: .

Достатня умова збіжності методу Ньютона формулюється теоремою:

Нехай функція визначена і двічі диференційована на відрізку , причому , а похідні та зберігають знак на . Тоді, виходячи із початкового наближення , що задовольняє нерівності та , можна побудувати послідовність , , збіжну до єдиного на розв’язку рівняння .

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Метод бісекції	\|	Зразок виконання завдання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.066 сек.