Метод Ньютона

Цей метод володіє значно більш швидкою збіжністю, ніж метод простої ітерації. В основі методу Ньютона для системи нелінійних рівнянь лежить розкладання функцій у ряд Тейлора, з якого викидаються члени, що містять похідні другого та вищих порядків.

Нехай в результаті початкового наближення були отримані такі наближення невідомих системи (1): відповідно. Покладаючи

, , …, ,

отримуємо

(3)

Задача зводиться до знаходження приростів до значень невідомих.

Проведемо розкладання лівих частин (3) у ряд Тейлора, обмежуючись лише лінійними членами відносно приростів:

Оскільки згідно до (1) ліві частини цих виразів мають дорівнювати нулю, то прирівнюємо до нуля й праві частини. Отримуємо наступну систему лінійних відносно приростів алгебраїчних рівнянь:

(4)

Значення та їхні похідні обчислюються за умови

З коефіцієнтів системи (4) складаємо матрицю Якобі та знаходимо її визначник - якобіан:

Для існування єдиного розв’язку системи (4) необхідне виконання умови на кожній ітерації.

Таким чином, ітераційний процес розв’язання системи рівнянь (1) методом Ньютона полягає у визначенні приростів до значень невідомих на кожній ітерації. Ітераційний процес зупиняється, якщо всі прирости стають малими за абсолютною величиною:

У методі Ньютона також важливий вдалий вибір початкових наближень невідомих для забезпечення гарної збіжності.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Метод простої ітерації	\|	Зразок виконання завдання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.018 сек.