• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Метод Ейлера

Найпростішим числовим методом розв’язання задачі Коші для звичайних диференційних рівнянь є метод Ейлера.

Для розв’язання задачі Коші введемо послідовність точок ( ), які називають вузлами. Будемо вважати для простоти, що вузли рівновіддалені, т. б. ( ). Замість значень функції в кожній точці введемо числа , що апроксимують точний розв’язок на даній множині точок. Функцію , задану у вигляді таблиці ( ), називають сітковою функцією.

Метод Ейлера заснований на розкладанні шуканої функції в ряд Тейлора в околах вузлів ( ), з якого викидаються всі члени, що містять похідні другого й вищих порядків. Запишемо це розкладання у вигляді

(2)

Замінимо значення функції Y у вузлах значеннями сіткової функції Крім того, згідно умови задачі Коші, покладемо

Враховуючи введені позначення та нехтуючи членами, що містять похідні другого й вищих порядків, з рівняння (2) отримуємо формулу:

(3)

Покладаючи знаходимо значення сіткової функції за :

.

Необхідне тут значення задане початковою умовою .

Аналогічно можуть бути знайдені значення сіткової функції в інших вузлах:

Різницева схема методу Ейлера, представлена співвідношеннями (3), має вид рекурентних формул, за допомогою яких значення сіткової функції у будь-якому вузлі обчислюється за її значенням у попередньому вузлі У зв’язку з цим метод Ейлера відносять до одно крокових методів.

З геометричної точки зору отримані рекурентні формули є нічим іншим, як рівняннями дотичних у точках ( ) до інтегральної кривої (рис. 7):

Рис. 7. Геометрична інтерпретація методу Ейлера

Крива 0 описує точний розв’язок задачі Коші, оскільки вона проходить через точку . Відрізок - це відрізок дотичної до кривої 0 в точці , її нахил характеризується значенням похідної . Дотична вже проводиться до іншої інтегральної кривої 1.

Таким чином, похибка методу Ейлера призводить до того, що на кожному кроці розв'язок переходить на іншу інтегральну криву. Тобто метод Ейлера володіє малою точністю.

Переглядів: 644