• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Сила тиску рідини на криволінійні поверхні.

.

Повна сила тиску на всю площу F визначається сумою елементарних сил:

.

Вираз являє собою статистичний момент площі відносно осі x. Він дорівнює площі фігури F, яка помножена на координату центра тяжіння у_с цієї площі. Тому:

,

де:

або: ;

але:

і тоді: ;

Отже, сила сумарного тиску, що діє на плоску фігуру, яка занурена в рідину, виражається добутком площі фігури на величину гідростатичного тиску в центрі її тяжіння.

Якщо р_м = 0, то сила надлишкового тиску дорівнює Р = F ∙ ρg ∙h_c. Добуток F ∙ h_c являє собою об’єм циліндра з площею основи F і висотою h_c. З урахуванням цього, формулу Р = F ∙ ρg ∙h_c можна прочитати так: сила, з якою рідина діє на плоску стінку, дорівнює вазі рідини в об’ємі циліндра з основою, рівною площі даної стінки, і висотою, рівній глибині занурення центра тяжіння цієї площі під рівень вільної поверхні.

Формулу Р = F ∙ ρg ∙h_c можна спростити. Так як ρg ∙h_c є гідростатичний тиск у центрі тяжіння площі F, то справедлива рівність:

Р_с = ρg ∙h_c ,

тобто подібно тому, як гідростатичний тиск не залежить від розмірів резервуара, у якому знаходиться нерухома рідина, так і сила тиску P рідини на плоску стінку, яка визначається з формул:

Р = р_оF + F∙ ρg ∙h_c і Р = F ∙ ρg ∙h_c

також не залежить ні від об’єму рідини в резервуарі, ні від розмірів бокових стінок резервуара, а тільки від величини даної площадки, на яку діє рідина, і від глибини занурення її центра тяжіння під рівень вільної поверхні. Крім того, з отриманого виразу видно, що сила тиску на плоску стінку не залежить від кута нахилу цієї стінки.

Як було показано раніше, горизонтальна площина в нерухомій рідині є поверхнею рівного тиску. Будь-яка точка на такій площині зазнає однаковий тиск Р = р_о + ρg ∙h_c. Отже, сила повного гідростатичного тиску рідини на горизонтальну площадку F визначиться як: (2).

Припустимо, що ми маємо три судини з плоскими днищами (рис. 7). При цьому форма судин різна, але площа дна F і глибина води H у всіх судинах однакова. За таких умов кількість рідини в трьох судинах буде різна.

Рис. 7 Гідростатичний парадокс.

На перший погляд здається, що сила тиску рідини на дно буде різна, оскільки різна кількість рідини і, отже, різна сила її тяжіння.

Визначимо силу тиску рідини, яка діє на дно судин:

Р_А = F∙ ρg ∙H; Р_Б = F∙ ρg ∙H; Р_В = F∙ ρg ∙H.

Таким чином, посудини різної форми, але з однаковою площею дна і наповнених рідиною на однакову висоту, мають однакову силу тиску на дно. Це положення в гідравліці зветься «гідростатичним парадоксом».

Розглянемо, звідки береться в судині Б додаткова сила в порівнянні із судиною А и куди подінеться надлишок ваги рідини в судині В у порівнянні із судиною А. Чи нема тут протиріччя з законами фізики?

Закони гідравліки стверджують, що сила тиску рідини не залежить від форми судин, а залежить від глибини занурення і її розмірів. На поставлене питання дають пояснення особливі властивості рідини - передавати зовнішній тиск в усіх напрямках і з однаковою силою (закон Паскаля).

Наприклад, на дно судини В діє сила сумарного гідростатичного тиску Р=r_сF=rgНF. Що стосується рідини в об’ємах abc і а'b'с', то її вага сприймається стінками, а не дном судини. Безумовно, якщо судина буде стояти на столі, то стіл буде сприймати вагу всієї рідини, що знаходиться в судині.

Отже, сила тяжіння рідини, якою наповнена судина, може відрізнятися від сили тиску, що діє на дно судини і ніякого протиріччя між законами фізики і гідравліки не існує.

Великий інтерес представляє знаходження центра тиску (рис. 6). Точка Д прикладання рівнодіючої сил тиску називається центром тиску. Відповідно до основного рівняння гідростатики тиск, який діє на поверхні рідини, рівномірно розподіляється по площі фігури, а тому точка прикладення сумарної сили поверхневого тиску Р = р_оF буде співпадати з центром тяжіння фігури. Навпаки, сумарна сила надлишкового гідростатичного тиску, який розподілений по площі фігури нерівномірно, буде знаходитись нижче центра тяжіння. Якщо на фігуру з усіх боків діє атмосферний тиск (найбільш частий випадок із практики), прикладання центра тиску залежить не від величини сили поверхневого тиску, а тільки від величини сили надлишкового тиску, який діє на фігуру. У тому ж випадку, коли поверхнева сила відмінна від атмосферного тиску і діє тільки з однієї сторони фігури, точка прикладання сили сумарного абсолютного гідростатичного тиску буде лежати нижче центра тяжіння фігури і залежати не від положення центра надлишкового тиску. Отже, визначимо координату точки Д прикладання центра тиску.

З механіки відомо (теорема Варіньйона), що момент рівнодіючої системи рівнобіжних сил дорівнює сумі моментів сил, які її складають. У нашому випадку рівнодіючою є сила сумарного надлишкового тиску:

Р_н = F∙ ρg ∙h_c = F∙ ρg ∙ у_с ∙ sin α,

а складовими силами, з яких складається сила Р_н – сили елементарного надлишкового тиску dР_н = ρg ∙h∙ dF, які діють на елементарно малі площадки dF.

Складемо вираз для елементарного моменту нескінченно малої сили dР_н відносно осі Ox, з урахуванням що h = у ∙ sin α:

dM = dР_н ∙ y = dF ρg ∙h∙ y = dF ρg ∙h∙ y²∙ sin α.

Визначимо суму всіх елементарних моментів М_с. Вона буде виражатися інтегралом по площі F:

але - це момент інерції фігури, яка розглядається відносно осі Ox, тобто , а тому М_с = ρg ∙ sin α ∙ І_х.

Момент рівнодіючої сили Р_н може бути записаний:

M_р = Р_н ∙ y_д = F∙ ρg ∙h_с∙ y_д,

де у_д – відстань точки прикладання рівнодіючої Р_н від осі Ox, що є координатою центра тиску, який ми визначаємо. Так як М_с = M_р, то ρg ∙ sin α ∙ І_х = F ∙ ρg ∙у_с ∙ sin α ∙ y_д або, І_х = F ∙у_с∙ y_д звідки:

Замінимо момент інерції І_х через центральний момент інерції І₀, тобто через момент інерції фігури відносно осі, яка проходить через її центр тяжіння. Ці два моменти пов'язані залежністю:

,

тоді: . (3)

Отже, центр надлишкового гідростатичного тиску лежить нижче центра тяжіння фігури на величину . Позначимо відношеннячерез е, тоді: y_д = у_с + е , (4)

де е має розмірність довжини (метри стовпа рідини) та іноді називається ексцентриситетом.

Слід до цього додати, що для полегшення обчислень у_с та y_д геометричних фігур, які найбільш часто зустрічаються, в літературних джерелах наведені спеціальні довідкові таблиці.

Отже, сила, з якою рідина діє на плоску стінку, дорівнює вазі рідини в об’ємі циліндра з основою F (площа даної стінки), і висотою h_с (глибина занурення центра тяжіння під рівень вільної поверхні).

На підставі отриманого висновку можна стверджувати, що в графічному зображенні сила Р представлена як вага циліндричного об’єму, який має назву тіла тиску. Отже, при графічному способі визначення сили тиску рідини на поверхню вона буде дорівнювати:

Р = F_еп∙ b,

де F_еп - площа епюри тиску, м²;

b - ширина плоскої стінки, м.

Центр тиску визначається як проекція центра тяжіння тіла тиску на площину даної стінки.

Очевидно, що вектор сили тиску у всіх випадках проходить через центр тяжіння епюр тиску, положення якого можна визначити або аналітично (як це показано раніше), або графічно (рис. 8).

Рис. 8 Графічне визначення центру тяжіння епюри гідростатичного тиску.

Графічне рішення зводиться до наступного: на продовженні верхньої основи трапеції BCDE відкладають відрізок NE, який дорівнює нижній основі трапеції DC. Потім продовжують нижню основу в протилежному напрямку, на якому відкладають відрізок CM, який дорівнює верхній основі. Знаходять середини основ трапеції і проводять пряму tk (медіану). Кінці відрізків у точках N і M з'єднують прямою. Точка перетинання прямих tk і NM і є центром тяжіння трапеції. Провівши через точку O вектор сили P, знаходять точку прикладання цієї сили D.

Визначимо силу тиску рідини на стінки відводу (рис.9). Нехай маємо відвід ABCE, в якому тиск в перетинах AB і CE дорівнює , діаметр труби D, а кут між перетинами AB і CE дорівнює . Визначимо силу , яка розриває відвід.

Силу тиску у розглянутих перетинах AB і CE визначимо з виразу:

.

Рис. 9 Сили гідростатичного тиску, які діють на стінки відводу.

Перенесемо ці сили по лінії дії до точки їх перетинання і побудуємо у цій точці паралелограм сил. Одержимо ромб, тому що обидві сили рівні між собою. Крім того, сили перпендикулярні перетинам, на які вони діють, внаслідок чого гострий кут ромба дорівнює . Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і поділяються навпіл, тому можна написати:

.

У машинобудуванні часто приходиться зустрічатися як із простими, так і зі складними криволінійними поверхнями, які знаходяться під дією гідростатичного тиску.

Як приклад, можна навести кришки резервуарів, кульові клапани насосів, внутрішні криволінійні стінки круглих мастилопроводів і трубопроводів, внутрішні криволінійні стінки циліндричних баків і цистерн.

При визначенні рівнодіючих сил тиску на плоскі стінки розглядалася дія елементарних сил, які були різні по величині, але спрямовані паралельно один одному. Тому їх можна було звести до однієї рівнодіючої шляхом простого додавання рівнобіжних сил.

Елементарні сили, які діють на криволінійні стінки, спрямовані перпендикулярно до кожного розглянутого елемента поверхні, але вони непаралельні і їх напрямки в загальному випадку не перетинаються в одній точці. Такі сили, як правило, не мають рівнодіючої. Ця обставина значно ускладнює задачу, вимагаючи застосування спеціальних розрахункових прийомів. Принцип, який покладено в основу існуючих рішень, полягає у визначенні складових сили сумарного гідростатичного тиску по декількох напрямках, які не лежать в одній площині, з наступним геометричним додаванням цих окремих сил. Результат додавання дає величину повної сили тиску рідини на криволінійну поверхню як по величині, так і по напрямку. Одночасно графічним шляхом знаходиться і центр тиску для криволінійної поверхні. Звичайно достатньо розглянути два напрямки: вертикальний і горизонтальний.

Нехай маємо криволінійну поверхню ABCD (рис. 10), яка занурена в рідину, і сприймає її тиск. Виділимо на криволінійній поверхні фігури ABCD нескінченно малу площадку dF, центр тяжіння якої занурений у рідину на глибину h.

Проведемо дотичну від площадки dF до перетинання з рівнем рідини в точці , та приймемо її за початок координат. При цьому ось х розташуємо в площині рівня вільної поверхні, ось z направимо вниз, а ось y розташуємо в горизонтальній площині x0y.

Надлишковий гідростатичний тиск в центрі ваги розглянутої площадки дорівнює p = ρgh, а елементарна сила тиску, яка діє в напрямку нормалі до цієї площадки, визначається залежністю:

dP = ρgh ∙ dF.

Позначимо кут між нормальним напрямком елементарної сили dP і віссю z через α і розкладемо цю силу на вертикальну і горизонтальну складові dP_z і dP_х.

Тоді:

dP_z = dP ∙ cos α = ρgh ∙ dF∙ cos α

dP_х = dP ∙ sin α = ρgh ∙ dF∙ sin α

Вираз dF∙ cos α та dF∙ sin α являють собою площі проекцій нескінченно малої площадки dF на горизонтальну і вертикальну площини, тобто на площини x0y і у0z. Тоді:

dP_z = ρgh∙ dF_х0у , а dP_х = ρgh∙ dF_у0z .

Припустимо, що вся поверхня фігури ABCD, площею F, розбита на нескінченно малі площадки dF, на які діють складові елементарних сил гідростатичного тиску dP_х і dP_z. Тоді вертикальні і горизонтальні складові повної сили тиску визначимо шляхом підсумовування елементарних складових dP_х і dP_z, тобто:

,

Якщо спроектувати площадку dF на поверхню рівня рідини, то можна встановити, що hF_х0у являє собою об’єм елементарного вертикального циліндра, основами якого є площадка dF та її проекція dF_х0у, а боковою поверхнею – вертикальні утворюючі.

Отже, виражає суму об’ємів елементарних циліндрів, з яких складається об’єм рідкого тіла ABCDA’B’C’D’. Позначимо його через V_тт і назвемо об’ємом тіла тиску. Тоді вертикальна складова сили тиску, яка діє на криволінійну фігуру ABCD, буде дорівнювати .

Спроектувавши нескінченно малу площадку dF, а також повністю фігуру ABCD на вертикальну площину у0z та одержавши відповідні площадки проекцій dF_у0z та A’’B’’C’’D’’, можемо встановити, що є статичним моментом площі проекції криволінійної фігури ABCD відносно осі 0у.

Отже, горизонтальна складова Р_х повної сили тиску, яка діє на криволінійну фігуру ABCD, визначиться залежністю: (7)

де F_х – площа проекції фігури на площину перпендикулярну осі х;

h_с – глибина занурення центра тяжіння площі проекції F_х в рідину.

Таким чином, горизонтальна складова Р_х виражається добутком площі проекції криволінійної фігури на вертикальну площину і гідростатичного тиску у центрі тяжіння цієї площі.

Таким чином, вертикальна складова повної сили тиску рідини, яка діє на криволінійну поверхню, дорівнює вазі рідини, замкнутої в об’ємі тіла тиску.

Отже, задача зводиться до визначення площі проекції F_х та об’єму тіла тиску V_тт:(8)

З метою визначення повної сили тиску рідини, під впливом якої знаходиться криволінійна поверхня, зробимо геометричне додавання її вертикальної і горизонтальної складових: (9)

Напрямок сили сумарного тиску P визначається кутом її нахилу до обрію, тобто кутом α, який може бути встановлений зі співвідношень: (10)

;

У висновку відзначимо, що центр тиску, тобто точка прикладення сили тиску рідини, знаходиться графічним шляхом як точка, де перетинається напрямок сили P із криволінійною поверхнею.

Читайте також:

1. Аеровані промивальні рідини
2. Взаємозв’язок характеристик порід, визначених при статичному і динамічному втискуванні
3. Вибір схеми підключення абонентів залежно від режимів тиску.
4. Види течії в’язкої рідини
5. Види тиску.
6. Визначення зусилля попереднього обтиску і величини попереднього напруження
7. Визначення показників механічних властивостей гірських порід методом статичного втискування штампа
8. Визначення ударного тиску.
9. Вимір артеріального тиску.
10. Вимірювання витрат за перепадом тиску
11. Вимірювання витрати за перепадом тиску
12. Вимірювання механічних сил та тиску

Переглядів: 5749