Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.
Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при , то функция является бесконечно большой при . И наоборот, если функция бесконечно большая при , то функция есть величина бесконечно малая при .
Докажем первое утверждение для случая , т.е. если- бесконечно малая величина есть бесконечно большая при .
По условию - бесконечно малая величина при , следовательно, для любого >0 найдется такое>0, что для всех и удовлетворяющих условию <верно неравенство <. Последнее неравенство (в предположении, что в некоторой окрестности точки при ≠0) равносильно следующему >или>М, где и Это и означает, что при функция является бесконечно большой.
Доказательство второго утверждения аналогично.
Пример.Дана функция . При , т.е. при есть бесконечно большая величина. Тогда есть величина бесконечно малая.