Класифікація точок розриву

Визначення неперервності функції за Коші і за Гєйне. Неперервність і арифметичні операції

Нехай визначена на .

Визначення 1. Кажуть, що неперервна в точці , якщо існує границя в цій точці і

Точка - це точка неперервности функції , інакше називається розривною в точці , а - точкою розриву.

Визначення 2 (неперервності функції на основі визначення границі функції за Коші). Кажуть, що неперервна в точці , якщо

, що для виконується нерівність

Визначення 3 (неперервності функції на основі визначення границі функції за Гєйне). Кажуть, що неперервна в точці , якщо для , відповідна послідовність значень функції .

Завдання. Чим відрізняються визначення 2 і 3 від відповідних визначень границі функції за Коші і за Гєйне?

Приклад. Показати, що функція є неперервною в будь-якій точці .

Для доказу скористаємося визначенням 2. Покажемо, що

в будь-якій точці . Для цього перевіримо, що

, що для виконується нерівність

Розглянемо останню нерівність детально, намагаючись розв’язати її відносно і отримати оцінку для . За властивостями модуля маємо:

тоді як тільки , то і . Таким чином як має сенс взяти просто .

Теорема 1. Нехай функції і визначені в , і і неперервні в точці . Тоді в точці будуть неперервними функції

· ;

· .

Приклад. Довести неперервність функції в будь-якій точці .

Оскільки , а функція є неперервною в будь-якій точці за попереднім прикладом, то за теоремою 1 теж буде неперервною в будь-якій точці як добуток неперервних функцій.

Визначення 4. Функція має в точці усувний розрив, якщо в цій точці існують обидві однобічні границі функції і , але , чи в точці функція взагалі невизначена.

Приклад. Функція має в точці усувний розрив (рис.1). Дійсно,

, а .

Зауваження 1. Якщо функція має в точці усувний розрив, то для того, щоб зробити її неперервною в точці , достатньо чи визначити її в цій точці, чи змінити її значення в так, щоб

Так для функції з попереднього прикладу достатньо покласти , і тоді нова функція буде неперервною в точці (рис.2).

Визначення 5. Функція має в точці розрив І роду, якщо в цій точці існують обидві однобічні границі функції , але . Кажуть, що в точці функція має стрибок, який дорівнює .

Приклад. Функція , має розрив І роду в точці (рис.3), оскільки , а стрибок дорівнює 2.

Визначення 6. Функція має в точці розрив ІІ роду, якщо в цій точці не існує хоча б одна з однобічних границь функції .

Приклад. Розглянемо функцію . Ця функція визначена скрізь, за винятком точки , тобто - точка розриво. З’ясуємо, який саме розрив в цій точці. Для цього почнемо з обчислення однобічних границь.

Оскільки лівобічна границя не існує, то маємо в точці розрив ІІ роду.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|	Коренева система як орган поглинання води. Здатність надземних органів до поглинання води

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.