• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Класифікація точок розриву

Визначення неперервності функції за Коші і за Гєйне. Неперервність і арифметичні операції

Нехай визначена на .

Визначення 1. Кажуть, що неперервна в точці , якщо існує границя в цій точці і

.

Точка - це точка неперервности функції , інакше називається розривною в точці , а - точкою розриву.

Визначення 2 (неперервності функції на основі визначення границі функції за Коші). Кажуть, що неперервна в точці , якщо

, що для виконується нерівність

.

Визначення 3 (неперервності функції на основі визначення границі функції за Гєйне). Кажуть, що неперервна в точці , якщо для , відповідна послідовність значень функції .

Завдання. Чим відрізняються визначення 2 і 3 від відповідних визначень границі функції за Коші і за Гєйне?

Приклад. Показати, що функція є неперервною в будь-якій точці .

Для доказу скористаємося визначенням 2. Покажемо, що

в будь-якій точці . Для цього перевіримо, що

, що для виконується нерівність

.

Розглянемо останню нерівність детально, намагаючись розв’язати її відносно і отримати оцінку для . За властивостями модуля маємо:

,

тоді як тільки , то і . Таким чином як має сенс взяти просто .

Теорема 1. Нехай функції і визначені в , і і неперервні в точці . Тоді в точці будуть неперервними функції

· ;

· ;

· ;

· .

Приклад. Довести неперервність функції в будь-якій точці .

Оскільки , а функція є неперервною в будь-якій точці за попереднім прикладом, то за теоремою 1 теж буде неперервною в будь-якій точці як добуток неперервних функцій.

Визначення 4. Функція має в точці усувний розрив, якщо в цій точці існують обидві однобічні границі функції і , але , чи в точці функція взагалі невизначена.

Приклад. Функція має в точці усувний розрив (рис.1). Дійсно,

, а .

Зауваження 1. Якщо функція має в точці усувний розрив, то для того, щоб зробити її неперервною в точці , достатньо чи визначити її в цій точці, чи змінити її значення в так, щоб

.

Так для функції з попереднього прикладу достатньо покласти , і тоді нова функція буде неперервною в точці (рис.2).

Визначення 5. Функція має в точці розрив І роду, якщо в цій точці існують обидві однобічні границі функції , але . Кажуть, що в точці функція має стрибок, який дорівнює .

Приклад. Функція , має розрив І роду в точці (рис.3), оскільки , а стрибок дорівнює 2.

Визначення 6. Функція має в точці розрив ІІ роду, якщо в цій точці не існує хоча б одна з однобічних границь функції .

Приклад. Розглянемо функцію . Ця функція визначена скрізь, за винятком точки , тобто - точка розриво. З’ясуємо, який саме розрив в цій точці. Для цього почнемо з обчислення однобічних границь.

.

Оскільки лівобічна границя не існує, то маємо в точці розрив ІІ роду.

Читайте також:

1. II. Класифікація видатків та кредитування бюджету.
2. V. Класифікація і внесення поправок
3. V. Класифікація рахунків
4. А. Структурно-функціональна класифікація нирок залежно від ступеню злиття окремих нирочок у компактний орган.
5. Адміністративні провадження: поняття, класифікація, стадії
6. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
7. Аналітичні процедури внутрішнього аудиту та їх класифікація.
8. Банківська платіжна картка як засіб розрахунків. Класифікація платіжних карток
9. Банківський кредит та його класифікація.
10. Банківські ресурси, їх види та класифікація
11. Будівельна класифікація ґрунтів
12. Будівельні домкрати, їх призначення, класифікація та конструкція.

Переглядів: 1074