• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Геометричні застосування визначеного інтеграла.

Невласні інтеграли.

Нехай функція f(x) визначена й неперервна на інтервалі [a, ¥). Тоді вона неперервна на будь-якому відрізку [a, b].

Визначення: Якщо існує скінченна границя , то ця границя називається невласним інтегралом від функції f(x) на інтервалі [a, ¥).

Позначення:

Якщо ця границя існуєйскінченна, то говорять, що невласний інтеграл збігається.

Якщо границя не існує або нескінченна, то невласний інтеграл розбігається.

Аналогічні міркування можна привести для невласних інтегралів виду:

Звичайно, ці твердження справедливі, якщо інтеграли, що до них входять, існують.

Приклад.

не існує.

Невласний інтеграл розбіжний.

Приклад.

– інтеграл розбіжний.

Теорема: Якщо для всіх х () виконується умова й інтеграл збігається, то теж збігається й .

Теорема: Якщо для всіх х () виконується умова й інтеграл розбігається, то теж розбігається.

Теорема: Якщо збігається, то збігається й інтеграл . У цьому випадку інтеграл називається абсолютно збіжним.

Інтеграл від розривної функції.

Якщо в точці x = с функція або невизначена, або розривна, то

Якщо інтеграл існує, то інтеграл – збігається, якщо інтеграл не існує, то – розбігається.

Якщо в точці х = а функція терпить розрив, то .

Якщо функція f (x) має розрив у точці b на проміжку [a, c], то

Таких точок всередині відрізку може бути кілька.

Якщо збігаються всі інтеграли, що входять у суму, то збігається й сумарний інтеграл.

Обчислення площ плоских фігур.

у

+ +

O a – b x

Відомо, що визначений інтеграл на відрізку являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x). Якщо графік розташований нижче осі Ох, тобто f(x) < 0, то площа має знак “–“, якщо графік розташований вище осі Ох, тобто f(x) > 0, то площа має знак “+”.

Для знаходження сумарної площі використовується формула .

Площа фігури, обмеженої деякими лініями може бути знайдена за допомогою визначених інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.

Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x, y = x², x = 2.

Шукана площа (заштрихована на малюнку) може бути знайдена за формулою:

(од²)

Знаходження площі криволінійного сектора.

r = f (j)

b

a

О r

Для знаходження площі криволінійного сектора введемо полярну систему координат. Рівняння кривої, що обмежує сектор у цій системі координат, має вигляд r = f (j), де r – довжина радіус-вектора, що з'єднує полюс із довільною точкою кривої, а j – кут нахилу цього радіус-вектора до полярної осі.

Докладніше про полярну систему координат і її зв'язок з декартовою прямокутною системою координат див. Полярна система координат.

Площа криволінійного сектора може бути знайдена за формулою

Обчислення довжини дуги кривої.

Y y = f(x)

DS_i Dy_i

Dx_i

a b x

Довжина ламаної лінії, що відповідає дузі, може бути знайдена як .

Тоді довжина дуги дорівнює .

З геометричних міркувань:

У той же час

Тоді можна показати (див. Інтегрована функція.), що

Тобто

Якщо рівняння кривої задане параметрично, то з урахуванням правил обчислення похідної параметрично заданої функції (див. Похідна функції, заданої параметрично.), одержуємо

,

де х = j(t) і у = y(t).

Якщо задано просторову криву, і х = j(t), y = y (t) і z = Z(t), то

Якщо крива задана в полярних координатах, то

, r = f (j).

Приклад: Знайти довжину кола, заданого рівнянням x² + y² = r².

1 спосіб. Виразимо з рівняння змінну y.

Знайдемо похідну

Тоді

Тоді S = 2pr. Одержали загальновідому формулу довжини кола.

2 спосіб. Якщо представити задане рівняння в полярній системі координат, то одержимо: r²cos²j + r²sin²j = r², тобто функція r = f (j) = r, тоді

Обчислення об'ємів тіл.

Обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перетинів.

Q(x_i–1)

Q(x_i)

a x_i–1 x_i b x

Нехай є тіло об'єму V. Площа будь-якого поперечного переріза тіла Q, відома як неперервна функція Q = Q(x). Розіб'ємо тіло на “шари” поперечними перерізами, що проходять через точки х_i розбивки відрізка [a, b]. Оскільки на будь-якому проміжному відрізку розбивки [x_i–1, x_i] функція Q(x) неперервна, то приймає на ньому найбільше й найменше значення. Позначимо їх відповідно M_i і m_i.

Якщо на цих найбільшому й найменшому перетинах побудувати циліндри з твірними, паралельними осі х, то об'єми цих циліндрів будуть відповідно рівні M_iDx_i і m_iDx_i тут Dx_i = x_i – x_i–1.

Зробивши такі побудови для всіх відрізків розбивки, одержимо циліндри, об'єми яких рівні відповідно й .

При прямуванні до нуля кроку розбивки l, ці суми мають спільну границю:

Таким чином, об'єм тіла може бути знайдений за формулою:

Недоліком цієї формули є те, що для знаходження об'єму необхідно знати функцію Q(x), що досить проблематично для складних тіл.

Приклад: Знайти об'єм кулі радіуса R.

y

R y

– R O x R x

У поперечних перерізах кулі виходять кола змінного радіуса y. Залежно від поточної координати х цей радіус виражається за формулою .

Тоді функція площ перетинів має вигляд: Q(x) = .

Одержуємо об'єм кулі:

.

Приклад: Знайти об'єм довільної піраміди з висотою Н і площею основи S.

Q S

x H x

При перетині піраміди площинами, перпендикулярними висоті, у перетині одержуємо фігури, подібні до основи. Коефіцієнт подібності цих фігур дорівнює відношенню x/H, де х – відстань від площини перетину до вершини піраміди.

З геометрії відомо, що відношення площ подібних фігур дорівнює коефіцієнту подоби у квадраті, тобто

Звідси одержуємо функцію площ перетинів:

Знаходимо об'єм піраміди:

Об'єм тіл обертання.

Розглянемо криву, задану рівнянням y = f(x). Припустимо, що функція f(x) неперервна на відрізку [a, b]. Якщо відповідну їй криволінійну трапецію з основами а й b обертати навколо осі Ох, то одержимо так зване тіло обертання.

y = f(x)

x

Оскільки кожний перетин тіла площиною x = const являє собою коло радіуса , то об'єм тіла обертання може бути легко знайдений за отриманою вище формулою:

Площа поверхні тіла обертання.

М_i B

А

x

x_i

Визначення: Площею поверхні обертання кривої АВ навколо даної осі називають границю, до якої прямують площі поверхонь обертання ламаних, вписаних у криву АВ, при прямуванні до нуля найбільших з довжин ланок цих ламаних.

Розіб'ємо дугу АВ на n частин точками M₀, M₁, M₂, … , M_n ... Координати вершин отриманої ламаної мають координати x_i і y_i. При обертанні ламаної навколо осі одержимо поверхню, що складається з бічних поверхонь усічених конусів, площа яких дорівнює DP_i. Ця площа може бути знайдена за формулою:

Тут DS_i – довжина кожної хорди.

Застосовуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа.) до відношення .

Одержуємо:

Тоді

Площа поверхні, описаної ламаної дорівнює:

Ця сума не є інтегральної, але можна показати, що

Тоді – формула обчислення площі поверхні тіла обертання.

Функції декількох змінних

При розгляді функцій декількох змінних обмежимося докладним описом функцій двох змінних, тому що всі отримані результати будуть справедливі для функцій довільного числа змінних.

Читайте також:

1. V. Виконання вправ на застосування узагальнювальних правил.
2. А.1 Стан , та проблемні питання застосування симетричної та асиметричної криптографії.
3. Автомобільні ваги із застосуванням цифрових датчиків
4. Акти застосування норм права в механізмі правового регулювання.
5. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
6. Акти правозастосування, їх види
7. Акти правозастосування.
8. Алгоритм із застосування річної процентної ставки r.
9. Алгоритм із застосуванням річної облікової ставки d.
10. Аміноглікозиди (стрептоміцину сульфат, гентаміцину сульфат). Механізм і спектр протимікробної дії, застосування, побічні ефекти.
11. Аналіз зображувальних засобів. Застосування цілісного аналізу
12. Антисептики ароматичного ряду (фенол чистий, іхтіол, дьоготь, мазь Вількінсона, лінімент за Вишневським). Особливості протимікробної дії та застосування.

Переглядів: 3735