Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Похідні й диференціали функцій декількох змінних.

Визначення: Якщо кожній парі незалежних одне від одного чисел (х, у) з деякої множини за якимось правилом ставиться у відповідність одне або кілька значень змінної z, то змінна z називається функцією двох змінних.

z = f(x, y)

 

Визначення: Якщо парі чисел (х, у) відповідає одне значення z, то функція називається однозначною, а якщо більше одного, то – багатозначною.

 

Визначення: Областю визначення функції z називається сукупність пар (х, у), при яких функція z існує.

 

Визначення: Околом точкиМ0(х0, y0) радіуса r називається сукупність всіх точок (х, у), які задовольняють умові .

 

Визначення: Число А називається границею функції f (x, y) при прямуванні точки М(х, у) до точки М0(х0, y0), якщо для кожного числа e > 0 знайдеться таке число r > 0, що для будь-якої точки М(х, у), для якої вірна умова

 

також вірна й умова .

Записують:

 

Визначення: Нехай точка М0(х0, y0) належить області визначення функції f (x, y). Тоді функція z = f(x, y) називається неперервною в точці М0(х0, y0), якщо

(1)

причому точка М(х, у) прямує до точки М0(х0, y0) довільним чином.

 

Якщо в будь-якій точці умова (1) не виконується, то ця точка називається точкою розривуфункції f (x, y). Це може бути в наступних випадках:

1) Функція z = f(x, y) не визначена в точці М0(х0, y0).

2) Не існує границя .

3) Ця границя існує, але він не дорівнює f (x0, y0).

 

Властивість. Якщо функція f(x, y, ...) визначена й неперервна в замкнутій і обмеженої області D, то в цій області знайдеться принаймні одна точка N(x0, y0, …), така, що для інших точок вірна нерівність

а також точка N1(x01, y01, …), така, що для всіх інших точок вірна нерівність

тоді f (x0, y0, …) = Mнайбільше значення функції, а f (x01, y01, …) = mнайменше значенняфункції f (x, y, …) в області D.

Неперервна функція в замкнутій і обмеженій області D досягає принаймні один раз найбільшого значення й один раз найменшого.

 

Властивість. Якщо функція f (x, y, ...) визначена й неперервна в замкнутій обмеженій області D, а M і m – відповідно найбільше й найменше значення функції в цій області, то для будь-якої точки m Î [m, M] існує точка N0(x0, y0, …) така, що f (x0, y0, …) = m.

 

Простіше кажучи, неперервна функція приймає в області D всі проміжні значення між M і m. Наслідком цієї властивості може служити висновок, що якщо числа M і m різних знаків, то в області D функція принаймні один раз звертається в нуль.

 

Властивість. Функція f(x, y, …), неперервна в замкнутій обмеженій області D, обмежена в цій області, якщо існує таке число K, що для всіх точок області вірна нерівність .

 

Властивість. Якщо функція f(x, y, …) визначена й неперервна в замкнутій обмеженій області D, то вона рівномірно неперервна в цій області, тобто для будь-якого позитивного числа e існує таке число D > 0, що для будь-яких двох точок (х1, y1) і (х2, y2) області, що перебувають на відстані, меншій D, виконується нерівність

 

 

Наведені вище властивості аналогічні властивостям функцій однієї змінної, неперервним на відрізку. Див. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

 

Визначення. Нехай у деякій області задана функція z = f (x, y). Візьмемо довільну точку М(х, у) і задамо приріст Dх до змінної х. Тоді величина Dxz = f (x + Dx, y) – f(x, y) називається частинним приростом функції по х.

 

Можна записати

.

 

 

Тоді називається частинною похідноюфункції z = f(x, y) по х.

Позначення:

 

Аналогічно визначається частинна похідна функції по y.

 

 

Геометричним змістомчастинної похідної (наприклад ) є тангенс кута нахилу дотичної, проведеної в точці N0(x0, y0, z0) до перетину поверхні площиною y = y0.

 


Читайте також:

  1. Аденогіпофіз, його гормони, механізм впливу, прояви гіпер- та гіпофункцій.
  2. Аутентифікація з використанням односторонніх функцій
  3. Важкість праці: Динамічні, статичні навантаження. Напруженість праці. Увага, напруженість аналізаторних функцій, емоційна та інтелектуальна напруженість, монотонність праці.
  4. Види договорів і контрактів. Розподіл функцій учасників проекту
  5. Види функцій державного управління
  6. Виконання лінійної регресії за допомогою функцій Excel
  7. Вона є важливим органом, який виконує ряд функцій
  8. Вона є важливим органом, який виконує ряд функцій
  9. Геометрична інтерпретація частинних похідних функції 2-х змінних.
  10. Гіпофункцій.
  11. Групи функцій для роботи з потоками
  12. Групування функцій управління підприємством НГК




Переглядів: 838

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Геометричні застосування визначеного інтеграла. | Частинні похідні вищих порядків.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.012 сек.