• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Визначений інтеграл.

Кілька прикладів інтегралів, що не виражаються через елементарні функції.

До таких інтегралів ставиться інтеграл виду , де Р(х) – багаточлен ступеня вище другого. Ці інтеграли називаються еліптичними.

Якщо степінь багаточлена Р(х) вище четвертого, то інтеграл називається гіпереліптичним.

Якщо все-таки інтеграл такого виду виражається через елементарні функції, то він називається псевдоеліптичним.

Не можуть бути виражені через елементарні функції наступні інтеграли:

1) – інтеграл Пуассона (Сімеон Дені Пуассон – французький математик (1781–1840))

2) – інтеграли Френеля (Жан Огюстен Френель – французький вчений (1788–1827) – теорія хвильової оптики та ін.)

3) – інтегральний логарифм

4) – приводиться до інтегрального логарифма

5) – інтегральний синус

6) – інтегральний косинус

Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція f(x).

y

M

m

O a x_i b x

Позначимо m і M найменше й найбільше значення функції на відрізку [a, b]. Розіб'ємо відрізок [a, b] на частини (необов'язково однакові) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тоді x₁ – x₀ = Dx₁, x₂ – x₁ = Dx₂, … ,x_n – x_n–1 = Dx_n;

На кожному з отриманих відрізків знайдемо найменше й найбільше значення функції.

[x₀, x₁] ® m₁, M₁; [x₁, x₂] ® m₂, M₂; … [x_n–1, x_n] ® m_n, M_n...

Складемо суми:

_n = m₁Dx₁ + m₂Dx₂ + … +m_nDx_n =

_n = M₁Dx₁ + M₂Dx₂ + … + M_nDx_n =

Сума називається нижньою інтегральною сумою, а сума – верхньою інтегральною сумою.

Оскільки , то , а .

Усередині кожного відрізка виберемо деяку точку e_i.

x₀ < e₁ < x₁, x₁ < e < x₂, … , x_n–1 < e < x_n...

Знайдемо значення функції в цих точках і складемо вираз, що називається інтегральною сумою для функції f(x) на відрізку [a, b].

S_n = f(e₁)Dx₁ + f(e₂)Dx₂ + … + f(e_n)Dx_n =

Тоді можна записати:

Отже,

Геометрично це представляється в такий спосіб: графік функції f(x) обмежений зверху описаною ламаною лінією, а знизу – вписаною ламаною.

Позначимо max Dx_i – найбільший відрізок розбивки, а min Dx_i – найменший. Якщо max Dx_i® 0, то число відрізків розбивки відрізка [a, b] прямує до нескінченності.

Якщо , то

Визначення: Якщо при будь-яких розбивках відрізка [a, b] таких, що max Dx_i®0 і довільному виборі точок e_i інтегральна сума прямує до границі S, що називається визначеним інтегралом від f (x) на відрізку [a, b].

Позначення :

а – нижня границя, b – верхня границя, х – змінна інтегрування, [a, b] – відрізок інтегрування.

Визначення: Якщо для функції f (x) існує границя то функція називається інтегрованою на відрізку [a, b].

Також вірні твердження:

Теорема: Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

Властивості визначеного інтеграла.

1)

2)

3)

4) Якщо на відрізку [a, b] a < b, то

5) Якщо m і M – відповідно найменше й найбільше значення функції f(x) на відрізку [a, b], то:

6) Теорема про середнє. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то на цьому відрізку існує точка e така, що

Доведення: У відповідності із властивістю 5:

оскільки функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то вона приймає на цьому відрізку всі значення від m до М. Інакше кажучи, існує таке число eÎ [a, b], що якщо і m = f(e), а , тоді . Теорему доведено.

7) Для довільних чисел a, b, c справедлива рівність:

Зрозуміло, ця рівність виконується, якщо існує кожний із інтегралів, що входять у неї.

8)

Узагальнена теорема про середнє. Якщо функції f(x) і j(x) неперервні на відрізку [a, b], і функція j(х) знакостала на ньому, то на цьому відрізку існує точка e, така, що

Обчислення визначеного інтеграла.

Нехай в інтегралі нижня границя а = const, а верхня границя b змінюється. Очевидно, що якщо змінюється верхня границя, то змінюється й значення інтеграла.

Позначимо . Знайдемо похідну функції Ф(х) по змінній верхній границі х.

Аналогічну теорему можна довести для випадку змінної нижньої границі.

Теорема: Для всякої функції f(x), неперервної на відрізку [a, b], існує на цьому відрізку первісна, а виходить, існує невизначений інтеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона-Лейбніца)

Якщо функція F(x) – якась первісна від неперервної функції f(x), то

це вираз відомий за назвою формули Ньютона-Лейбніца.

Доведення: Нехай F(x) – первісна функції f(x). Тоді відповідно до наведеного вище теоремою, функція – первісна функція від f(x). Але тому що функція може мати нескінченно багато первісних, які будуть відрізнятися друг від друга тільки на якесь стале число C, то

при відповідному виборі С цю рівність справедливо для будь-якого х, тобто при х = а:

Тоді .

А при х = b:

Замінивши змінну t на змінну х, одержуємо формулу Ньютона-Лейбніца:

Теорему доведено.

Іноді застосовують позначення F(b) – F(a) = F(x) .

Формула Ньютона-Лейбніца являє собою загальний підхід до знаходження визначених інтегралів.

Що стосується прийомів обчислення визначених інтегралів, то вони практично нічим не відрізняються від всіх тих прийомів і методів, які були розглянуті вище при знаходженні невизначених інтегралів.

Точно так само застосовуються методи підстановки (заміни змінної), метод інтегрування частинами, ті ж прийоми знаходження первісних для тригонометричних, ірраціональних і трансцендентних функцій. Особливістю є тільки те, що при застосуванні цих прийомів треба поширювати перетворення не тільки на підінтегральну функцію, але й на границі інтегрування. Заміняючи змінну інтегрування, слід не забувати змінити відповідно границі інтегрування.

Заміна змінних.

Нехай заданий інтеграл , де f(x) – неперервна функція на відрізку [a, b].

Введемо нову змінну відповідно до формули x = j (t).

Тоді якщо

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) і j¢(t) неперервні на відрізку [a, b]

3) f (j(t)) визначена на відрізку [a, b], то

Тоді

Приклад.

При заміні змінної в визначеному інтегралі слід пам'ятати про те, що вводять функцію, що (у розглянутому прикладі це функція sin) повинна бути неперервна на відрізку інтегрування. У противному випадку формальне застосування формули приводить до абсурду.

Приклад.

, з іншого боку, якщо застосувати тригонометричну підстановку,

Тобто два способи знаходження інтеграла дають різні результати. Це відбулося через те, що не був врахований той факт, що уведена змінна tg x має на відрізку інтегрування розрив (у точці х = p/2). Тому в цьому випадку така підстановка незастосовна. При заміні змінної в визначеному інтегралі слід уважно стежити за виконанням перерахованих вище умов.

Інтегрування частинами.

Якщо функції u = j(x) та v = y (x) неперервні на відрізку [a, b], а також неперервні на цьому відрізку їхні похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:

Висновок цієї формули абсолютно аналогічний висновку формули інтегрування частинами для невизначеного інтеграла, що був досить докладно розглянутий вище, тому тут приводити його нема рації.

Наближене обчислення визначеного інтеграла.

Як було сказано вище, існує величезна кількість функцій, інтеграл від яких не може бути виражений через елементарні функції. Для знаходження інтегралів від подібних функцій застосовуються різноманітні наближені методи, суть яких полягає в тому, що підінтегральна функція заміняється “близькою” до неї функцією, інтеграл від якої виражається через елементарні функції.

Формула прямокутників.

Якщо відомі значення функції f(x) у деяких точках x₀, x₁, … , x_m, то як функція “близьку” до f(x) можна взяти багаточлен Р(х) ступеня не вище m, значення якого в обраних точках дорівнюють значенням функції f(x) у цих точках.

Якщо розбити відрізок інтегрування на n рівних частин . При цьому:

y₀ = f (x₀), y₁ = f (x₁), … , y_n = f(x_n).

Складемо суми: y₀Dx + y₁Dx + … + y_n–1Dx

y₁Dx + y₂Dx + … + y_nDx

Це відповідно нижня й верхня інтегральні суми. Перша відповідає вписаній ламаній, друга – описаній.

Тоді або

– кожна із цих формул може застосовуватися для наближеного обчислення визначеного інтеграла й називається загальною формулою прямокутників.

Формула трапецій.

у

y₁ y₂ у_n

a x₁ x₂ b x

Ця формула є більш точною в порівнянні з формулою прямокутників. Підінтегральна функція в цьому випадку заміняється на вписану ламану.

Геометрично площа криволінійної трапеції заміняється сумою площ вписаних трапецій. Очевидно, що чим більше взяти точок n розбивки інтервалу, тим з більшою точністю буде обчислений інтеграл.

Площі вписаних трапецій обчислюються за формулами:

Після приведення подібних доданків одержуємо формулу трапецій:

Формула парабол

(формула Сімпсона або квадратурна формула).

(Томас Сімпсон (1710–1761) – англійський математик)

Розділимо відрізок інтегрування [a, b] на парне число відрізків (2m). Площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x) замінимо на площу криволінійної трапеції, обмеженою параболою другого ступеня з віссю симетрії, паралельною осі Оу, такої що проходить через точки кривої, зі значеннями f(x₀), f(x₁), f(x₂).

Для кожної пари відрізків побудуємо таку параболу.

y

0 х₀ х₁ х₂ х₃ x₄ х

Рівняння цих парабол мають вигляд Ax² + Bx + C, де коефіцієнти А, В, C можуть бути легко знайдені по трьох точках перетину параболи з вихідною кривою.

(1)

Позначимо .

Якщо прийняти

х₀ = – h, x₁ = 0, x₂ = h, то (2)

Тоді рівняння значень функції (1) мають вигляд:

З врахуванням цього: .

Звідси рівняння (2) прийме вид:

Тоді

Складаючи ці вирази, одержуємо формулу Сімпсона:

Чим більше взяти число m, тим більше точне значення інтеграла буде отримано.

Приклад. Обчислити наближене значення визначеного інтеграла

за допомогою формули Сімпсона, розбивши відрізок інтегрування на 10 частин.

За формулою Сімпсона одержимо:

Точне значення цього інтеграла – 91,173.

Як видно, навіть при порівняно великому кроці розбивки точність отриманого результату цілком задовільна.

Для порівняння застосуємо до цієї ж задачі формулу трапецій.

Формула трапецій дала менш точний результат у порівнянні з формулою Сімпсона.

Крім перерахованих вище способів, можна обчислити значення визначеного інтеграла за допомогою розкладу підінтегральної функції в степеневої ряд.

Принцип цього методу полягає в тому, щоб замінити підінтегральну функцію за формулою Тейлора і почленно проінтегрувати отриману суму.

Приклад. З точністю до 0,001 обчислити інтеграл

Оскільки інтегрування проводиться в околі точки х=0, то можна скористатися для розкладу підінтегральної функції формулою Маклорена.

Розклад функції cos x має вигляд:

Знаючи розклад функції cos х легко знайти функцію 1 – cos x:

У цій формулі підсумовування проводиться по п від 1 нескінченно, а в попередній – від 0 до нескінченності. Це – не помилка, так виходить у результаті перетворення.

Тепер представимо у вигляді ряду підінтегральний вираз.

Тепер представимо наш інтеграл у вигляді:

У наступній дії буде застосована теорема про почленне інтегрування ряду. (Тобто інтеграл від суми буде представлений у вигляді суми інтегралів членів ряду).

Загалом кажучи, зі строго теоретичної точки зору для застосування цієї теореми треба довести, що ряд збігається й, більше того, збігається рівномірно на відрізку інтегрування [0, 0,5]. Ці питання будуть докладно розглянуті пізніше (Див. Дії зі степеневими рядами.) Відзначимо лише, що в нашому випадку подібна дія справедлива хоча б з властивостей визначеного інтеграла (інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів).

Отже:

Разом, одержуємо:

Як видно, абсолютна величина членів ряду дуже швидко зменшується, і необхідна точність досягається вже при третьому члені розкладу.

Для довідки: точне (вірніше – більше точне) значення цього інтеграла: 0,2482725418...

Читайте також:

1. Будучи, як правило, дочірніми фірмами великих компаній, вони існують за рахунок засобів венчурного капіталу і здійснюють чітко визначений вид діяльності.
2. Визначений інтеграл із змінною верхнею межею
3. Виробнича потужність підприємства, оснащеного однотипним устаткуванням, може бути визначений за формулою
4. Загальний розв'язок і загальний інтеграл. Частинний та особливий розв'язки. Проміжні та перші інтеграли.
5. Кожна хімічна сполука має визначений та сталий склад, незалежно від умов та способу його отримання.
6. Лекція №14. Невизначений інтеграл
7. Лекція №15, 16. Визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла.
8. Невизначений інтеграл та його властивості
9. Невласний інтеграл.
10. Правила - інструктивний документ, який містить вимоги, виконання яких створює необхідну поведінку і певний визначений порядок.
11. Розірвання трудового договору , укладеного на невизначений строк, з ініціативі працівника.

Переглядів: 4762