• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Визначений інтеграл із змінною верхнею межею

Методи обчислення визначених інтегралів.

Лекція №5

План лекції:

1. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею.

2. Формула Ньютона-Лейбніца.

3. Методи обчислення визначених інтегралів: безпосереднє обчислення з використанням формули Ньютона-Лейбніца, заміною змінних (підстановкою), частинами.

Нехай функція неперервна на . Зафіксуємо точку і розглянемо змінну точку . Тоді буде неперервною на відрізку і інтегрованою на ньому, тобто існує інтеграл (змінну інтегрування позначимо , щоб відрізняти від верхньої межі). Цей інтеграл є, очевидно, функцією від . Позначимо цю функцію через :

.

і назвемо її інтегралом із змінною верхнею межею.

Геометрично інтеграл із змінною верхнею межею є площа частини криволінійної трапеції, обмеженої лініями , , ,

Теорема (про похідну визначеного інтеграла із змінною верхнею межею). Похідна по верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі: .

Доведення.Треба довести, що . Надамо аргументу функції приросту, що не виводить за межі :

Обчислимо приріст функції:

(за властивістю адитивності визначеного інтеграла)

Застосуємо до останнього інтеграла теорему про середнє:

, де

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

Якщо , то точка буде необмежено наближуватися до точки , значить, і точка , що лежить між ними, також буде наближуватись до . Якщо , то , оскільки неперервна на . Таким чином,

.

Це і означає, що функція має в точці похідну . Оскільки ця рівність справедлива , то теорему доведено.à

Наслідок. (про існування первісної неперервної функції). Якщо функція неперервна на відрізку , то вона має на цьому відрізку первісну.

Доведення.Дійсно, зафіксуємо довільну точку і розглянемо . За теоремою про похідну визначеного інтеграла із змінною верхнею межею . За означенням первісної це означає, що інтеграл із змінною верхнею межею є первісною для функції на .à

Зауваження.Так само можна розглядати інтеграл із змінною нижньою межею: , де - фіксована точка з . Для нього похідна дорівнює .

Читайте також:

1. Будучи, як правило, дочірніми фірмами великих компаній, вони існують за рахунок засобів венчурного капіталу і здійснюють чітко визначений вид діяльності.
2. Визначений інтеграл.
3. Випарні апарати з винесеною поверхнею нагрівання
4. Виробнича потужність підприємства, оснащеного однотипним устаткуванням, може бути визначений за формулою
5. Властивості визначеного інтеграла
6. Властивості визначеного інтегралу.
7. Геометричні застосування визначеного інтеграла.
8. Геометричні й фізичні застосування кратних інтегралів.
9. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
10. Додаток Д. Значення визначених інтегралів, що часто
11. Додаток Д. Значення визначених інтегралів, що часто

Переглядів: 2615