3. Методи обчислення визначених інтегралів: безпосереднє обчислення з використанням формули Ньютона-Лейбніца, заміною змінних (підстановкою), частинами.
Нехай функція неперервна на . Зафіксуємо точку і розглянемо змінну точку . Тоді буде неперервною на відрізку і інтегрованою на ньому, тобто існує інтеграл (змінну інтегрування позначимо , щоб відрізняти від верхньої межі). Цей інтеграл є, очевидно, функцією від . Позначимо цю функцію через :
.
і назвемо її інтегралом із змінною верхнею межею.
Геометрично інтеграл із змінною верхнею межею є площа частини криволінійної трапеції, обмеженої лініями , , ,
Теорема (про похідну визначеного інтеграла із змінною верхнею межею). Похідна по верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі: .
Доведення.Треба довести, що . Надамо аргументу функції приросту, що не виводить за межі :
Обчислимо приріст функції:
(за властивістю адитивності визначеного інтеграла)
Застосуємо до останнього інтеграла теорему про середнє:
, де
Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:
Якщо , то точка буде необмежено наближуватися до точки , значить, і точка , що лежить між ними, також буде наближуватись до . Якщо , то , оскільки неперервна на . Таким чином,
.
Це і означає, що функція має в точці похідну . Оскільки ця рівність справедлива , то теорему доведено.à
Наслідок. (про існування первісної неперервної функції).Якщо функція неперервна на відрізку , то вона має на цьому відрізку первісну.
Доведення.Дійсно, зафіксуємо довільну точку і розглянемо . За теоремою про похідну визначеного інтеграла із змінною верхнею межею . За означенням первісної це означає, що інтеграл із змінною верхнею межею є первісною для функції на .à
Зауваження.Так само можна розглядати інтеграл із змінною нижньою межею: , де - фіксована точка з . Для нього похідна дорівнює .