Нехай всі розглядувані функції інтегровані на відповідних відрізках.
1. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:
.
Введене визначення визначеного інтеграла припускає, що нижня межа інтегрування менше верхньої: . Узагальнимо поняття інтеграла на випадки, коли і .
2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:
.
3. При представленні меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:
.
4. При будь-якому розташуванні точок на справедлива рівність
.
Ця рівність виражає властивість адитивності визначеного інтеграла відносно відрізка інтегрування: визначений інтеграл по всьому відрізку дорівнює сумі інтегралів по всім його частинам.
5. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:
.
6. Визначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:
.
Рівності 5 і 6 виражають властивість лінійної визначеного інтеграла.
7. Визначений інтеграл від непарної функції в симетричних межах дорівнює нулю:
, якщо
Доведення. Виходячи з геометричного змісту інтеграла:
оскільки .à
8. Визначений інтеграл від парної функції в симетричних межах дорівнює подвоєному інтегралу в межах від 0 до :
, якщо
Доведення. Виходячи з геометричного змісту інтеграла:
,
оскільки .à
9. Якщо всюди на відрізку , то
(збереження знака підінтегральної функції визначеним інтегралом)
Доведення. Оскільки , , то будь-яка інтегральна сума і її границя при теж невід’ємна. à
10. Якщо всюди на відрізку виконується нерівність , то виконується і нерівність:
.
(монотонність визначеного інтеграла)
Доведення. Оскільки , тоі за властивістю 9 , звідки за властивістю адитивності ,